Cómo ampliar una suma de "n elegir k" en un polinomio?

Question

Deseo ampliar

$$\sum\limits_{k = 0}^{i - 1} {n \choose k}$$

donde $i \leq n$ en un polinomio. Sin embargo, estoy seguro acerca de los coeficientes de cada término. Me han consultado https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient pero no pudo encontrar este resultado en particular.

Ejemplo: supongamos $i = 3$,$\sum\limits_{k = 0}^{i - 1} {n \choose k} = \frac{n^2}{2} + n - 1/2$. Tanto el coeficiente inicial y el término constante parece ser bastante arbitrario.

Es allí una manera de generalizar?

Answer 1

Usted puede definir de la siguiente manera:

$${x \choose k }:=\frac{x(x-1)\cdots (x-k+1)}{k!}$$

cuando el siguiente se llama la caída factorial polinomio:

$$ (x)_k := x(x-1)\cdots (x-k+1)$$

y, a continuación, el uso que los números de Stirling de primera especie va a satisfacer:

$$ (x)_k = \sum_{j=0}^{k}s(k,j)x^{j} $$

Así

$$ \sum_{k=0}^{i-1}{n\choose k}=\sum_{k=0}^{i-1}\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{n}s(k,j)n^{j}= \sum_{j=0}^{n}\left(\sum_{k=0}^{i-1}\frac{s(k,j)}{k!}\right)n^{j} $$