La acción de automorfismos en Nonforking Extensiones

Question

Deje $T$ ser una forma totalmente transcedental la teoría y la $M$ un modelo de $T$$A \subset M$. Deje $p(x) \in S(A)$ (un tipo completo con parámetros en $A$) y deje $q(x)$ ser un nonforking extensión de $p(x)$ con parámetros en $M$. Estoy tratando de entender cómo $q(x)$ se comporta bajo un $A$-automorphism de $M$.

Sé que dado otro no se bifurcan extensión de $s(x)$ $p(x)$ (a todos los de $M$), existe un $A$-automorphism de $M$ , decir $f$ tal que $f(q(x)) = s(x)$ (Este es el resultado de la proposición 2.33 en http://www.math.uiuc.edu/People/pillay/lecturenotes.stability.pdf). Pero lo que me pregunto es debido a un arbitrario $A$-automorphism $f$ $f(p(x))$ va a ser un nonforking extensión de $p(x)$? Es decir, ¿el $A$-automorfismos permutar las nonforking extensiones de $p(x)$?

Answer 1

Sí, el $A$-automorfismos permutar las nonforking extensiones de $p(x)$.

La razón depende de la definición de nonforking que está utilizando. Desde que se conectó a Pillay de notas de la conferencia, voy a asumir que usted hace de la definición de $q$ no desembolsar más de $A$ si y sólo si $q$ es definible, casi más de $A$.

Deje $q$ ser un nonforking extensión de $p$, y deje $f$ $A$- automorphism. Ahora el $\phi(x,y)$ parte de a $q$ es definible por $\psi(y,a)$,$a\in \text{acl}^{eq}(A)$, por lo que el $\phi(x,y)$ parte de a $f(q)$ es definible por $\psi(y,f(a))$. Cualquier automorphism fijación $A$ correcciones (setwise, no pointwise) $\text{acl}^{eq}(A)$, lo $f(a)\in\text{acl}^{eq}(A)$, e $f(q)$ es definible, casi más de $A$. Finalmente, $q\restriction A = p$, ya que las fórmulas con parámetros en $A$ son fijos por $f$. Por lo $q$ es un nonforking extensión de $p$.