Pensamientos acerca de funciones medibles

Question

Recientemente he estado estudiando el análisis funcional y creo que necesito un poco de ayuda con un ejercicio en el libro.

Tenemos la Lusin del teorema, que se expresa de la siguiente manera:

Dado que algunos medibles $E$ donde $\mu(E)<\infty$ y algunas de las funciones $f$, lo que es medible y finito en casi todas partes en $E$, la siguiente declaración es verdadera:

$\forall \epsilon>0 : \space \exists F_\epsilon \subset E$ , ($F_\epsilon$ tiene que ser cerrado):

1) $\mu(E \setminus F_\epsilon) < \epsilon$

2) $f$ es continua en a $F_\epsilon$

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Ahora - el ejercicio es para saber si el inverso del teorema es correcto (y dar la prueba, si es) - de modo que si no existe ese $F_\epsilon$, en la que nuestra función es continua (y supongo finito en casi todas partes), entonces también es medible en el conjunto correspondiente $E$.

Supongo que esta afirmación es correcta, pero lamentablemente yo no puedo venir para arriba con una adecuada prueba. La prueba de la Lusin del teorema no ayuda aquí, porque tenemos que demostrar la continuidad -> measurableness en los conjuntos correspondientes y la Egorova del teorema no es ninguna ayuda en este caso.

Podría alguien compartir la prueba por favor o darme algunas pistas sobre el cumplimiento de la misma.

Answer 1

La reformulación del problema, supongamos que $E$ es un conjunto medible de medida finita, que $f$ es una extensión real de la función con valores definidos en $E$ y finito en casi todas partes, y que para todos los $\varepsilon\gt 0$ existe un conjunto cerrado $F_{\varepsilon}\subset E$ tal que $\mu(E\setminus F_{\varepsilon})<\varepsilon$ $f\vert_{F_\varepsilon}$ es continua. A continuación, $f$ es medible.

Prueba de dibujo: Para cada entero positivo $n$, vamos a $F_n$ ser un subconjunto cerrado de $E$ tal que $\mu(E\setminus F_n)<\frac{1}{n}$ $f\vert_{F_n}$ es continua. A continuación, $f\vert_{F_n}$ también es medible, y de esto se sigue que la restricción de $f$ $\cup_k F_k$es medible. Desde $\mu(E\setminus\cup_k F_k)\leq \mu(E\setminus F_n)\lt \frac{1}{n}$ por cada $n$, se deduce que el $f$ es medible cuando se limita a un subconjunto medible cuyo complemento tiene una medida de $0$. Así (asumiendo $\mu$) $f$ es medible.

El hecho de que $F_\epsilon$ es cerrado no es necesario. Simplemente tiene que ser medibles.