¿Cuál es la diferencia entre una singularidad y un polo?

Question

Por lo que he podido encontrar, un singularidad es un punto en el que una ecuación, superficie, etc., estalla o se degenera.

Y un poste de una función es un punto singular aislado a de carácter monovaluado de una función analítica $f(z)$ de la variable compleja $z$ para lo cual $|f(z)|$ aumenta sin límite cuando $z$ se acerca a $a$ : $\lim_{z\rightarrow a}f(z) = \infty.$

Realmente no entiendo bien esta definición de polo, como (qué es un punto singular aislado) y el límite dice para $\lim_{z\rightarrow a}f(z) = \infty.$ ¿Qué es? $a$ que $z$ debe acercarse?

$f = 1/(z-1) \ e^{z}$

¿Puedo decir $f$ tiene una singularidad en $z = 1$ porque tenemos $1/0$ en ese punto, es decir, explota y da $\infty$ ?

Answer 1

Un polo es un caso especial (generalmente definido como) de una singularidad. Véase http://en.wikipedia.org/wiki/Pole_%28complex_analysis%29

Answer 2

Uno dice que $z_0$ es una singularidad aislada de $f$ si $f$ se define en una vecindad puntuada $D\setminus\{z_0\}$ de $z_0$ .

Uno dice $z_0$ es una singularidad removible de $f$ si existe una función holomorfa $F(z)$ definido en $D$ que amplía $f$ .

Supongamos que $f$ es no evanescente en una vecindad puntuada $D\setminus\{z_0\}$ de $z_0$ . Definir $F(z)$ en $D$ por $F(z) = 1/f(z)$ si $z \neq z_0$ y $F(z_0)=0$ . Entonces $z_0$ es un polo de $f$ si $F$ es holomorfo en $z_0$ .

Una singularidad $z_0$ es una singularidad esencial de $f$ si $z_0$ no es ni un polo ni una singularidad desmontable.