No delimitada escalar de curvatura implica delimitada de la curvatura de Ricci?

Question

No delimitada escalar de curvatura implica delimitada de la curvatura de Ricci?

Es trivial demostrar lo contrario, pero no sé si lo anterior es cierto. Inspirado por un vago parecido pregunta, estoy pensando en que el producto de un colector con menor ilimitados y uno superior sin límites de curvatura de Ricci (siempre que las métricas de ser elegido cuidadosamente) podría haber delimitado escalar de curvatura, pero no estoy seguro.

Answer 1

Sí, la idea está bien. Deje $(M,g)$ $(N,h)$ ser arbitraria de Riemann colectores, entonces la curvatura de Ricci el producto colector $(M\times N, g\oplus h)$ toma la forma

$$ \mathrm{Ric}_{g\oplus h} = \begin{pmatrix} \mathrm{Ric}_g & 0 \\ 0 & \mathrm{Ric}_h \end{pmatrix} $$

Así, en particular, si usted hace los arreglos para $M$ tener una constante escalar de curvatura $\lambda$ $N$ tener una constante escalar de curvatura $-\lambda$ tendría un producto colector de 0 escalar de curvatura.

Así que vamos a $(M,g)$ ser el estándar de la esfera y de $(N,h)$ ser el hiperbólico de la esfera, y cambiar la escala, que inmediatamente se contraejemplos.