¿Por qué no hay filtrado límites?

Question

Acabo de leer la Wikipedia artículo sobre el filtrado de la categoría, y ahora me pregunto ¿por qué se menciona filtrada colimits y cofiltered límites, pero no se filtra límites. En el nLab-artículo titulado filtrada límite de un filtrado límite está definido aún como un límite a más de un cofiltered categoría.

Hay una razón para esto? La primera cosa que viene a mi mente cuando trato de pensar en un límite a más de un filtrada (pero no cofiltered) categoría es un pullback. Así que aparte de este caso simple, son los límites de más de filtrado de categorías no es muy útil, o bien que se portaba, o lo que sea?

Answer 1

Si una categoría $C$ tiene una terminal de objeto, entonces, en la medida de como los límites en $C$ se refiere, "filtrada" sería inútil la información. Para ver esto, considere la posibilidad de cualquier functor en $C$, decir $F:I\to C$. Definir $I^+$ a la categoría obtenida por el que se adhiere a la terminal de objeto a $I$. (Si $I$ ya cuenta con una terminal de objeto, haga caso omiso y se acuestan por una nueva). Así los objetos de $I^+$ son los de $I$, además de la nueva terminal de objeto $1$, y los morfismos de $I^+$ son los de $I$ y, para cada objeto de $I^+$, una sola de morfismos de ese objeto a $1$. Extender $F$ a un functor $F^+:I^+\to C$ mediante el envío de la nueva $1$ $I^+$ a la terminal objeto de $C$ y la definición de $F$ en la nueva morfismos de $I^+$ de la única forma posible. Entonces, a menos que he estúpidamente pasado por alto algo, $I^+$ se filtra, y el límite de $F^+$ está de acuerdo con eso de $F$. En otras palabras, ningún límite en absoluto (como la de $F$) puede ser convertido en un filtrado límite (como la de $F^+$) por un trivial de modificación.