De primer orden de la lógica.

Question

En inteligencia Artificial, vi a la siguiente pregunta y respuesta en la página web.

Pregunta:

Los políticos puede engañar a algunas personas todo el tiempo, y se puede engañar a todos la gente parte del tiempo, pero no se puede engañar a toda la gente todo el tiempo. $\newcommand{Politician}{\operatorname{Politician}}\newcommand{Person}{\operatorname{Person}}\newcommand{Fool}{\operatorname{Fool}}\newcommand{Time}{\operatorname{Time}}$

Respuesta:

Deje $\Fool(x,y,t)$ significa que $x$ puede engañar a $y$ tiempo $t$.
$$\begin{align} \forall x (\Politician(x) &\rightarrow\\ &(\exists y \Person(y) \rightarrow (\forall t \Time(t) \rightarrow \Fool(x,y,t))) \land\\ &(\exists t \Time(t) \rightarrow (\forall y \Person(y) \rightarrow \Fool(x,y,t)) \land \\ &(\exists t,y \Time(t) \land \Person(y) \rightarrow \lnot\Fool(x,y,t)) \end{align}$$

Podría escribir de la siguiente manera. Es eso correcto?

Mi Solución:

$$ (\forall x\, \existe y\, \forall t\, (\Político(x) \de la tierra \Persona(y) \de la tierra \Tonto(x,y,t)) \de la tierra\\ (\forall x\, \forall y\, \existe t\, (\Político(x) \de la tierra \Persona(y) \de la tierra \Tonto(x,y,t)) \de la tierra\\ \lnot(\forall x\, \forall y\, \forall t\, (\Político(x) \de la tierra \Persona(y) \de la tierra \Tonto(x,y,t))$$

Answer 1

Ni la solución funciona correctamente.

En su solución, por ejemplo, el conjunto $$\forall x: \exists y: \forall t: (\mathrm{Politician}(x) \land \mathrm{People}(y) \land \mathrm{fool}(x,y,t))$$ afirma que para cualquier $x$ existe un $y$ tal que (entre otras cosas) $x$ es un político. Es decir, que todo el mundo quiere ser un político-y cada vez debe ser un político demasiado, porque "$\forall x$" no sabe que se supone que es para cuantificar sólo sobre las personas, pero no más veces.

Y su tercerconjunto $$\neg \forall x: \forall y: \forall t: (\mathrm{Politician}(x) \land \mathrm{People}(y) \land \mathrm{fool}(x,y,t))$$ será cierto siempre y cuando no hay nada que no es un político o una persona. Incluso si todo el mundo puede ser engañado por alguien todo el tiempo, puede crear una instancia de todos $x$, $y$ y $z$ a "el jueves". Luego, debido a que $\mathrm{People}(\mathrm{Thursday})$ es presumiblemente falsos, los tres cuantificadores anidados todo será falso, y al negar que se obtiene True.

También debe contar como sospechoso de que usted nunca incluso hablar acerca de cuándo algo es un tiempo o no.

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Pero el sitio web de la respuesta que usted cita tiene sus propios problemas. Parece que se intenta expresar "No existe una persona con tal-y-tal propiedad" como $$\exists y: \mathrm{person}(y) \Rightarrow \text{such-and-such}(y)$$ Pero debido a que $\mathrm{false}\Rightarrow\mathit{anything}$ es siempre cierto, esta condición es true como tan pronto como en algún lugar existe alguien o algo que es no una persona. Sólo si todo lo que son las personas (que no debería ser el caso aquí, porque los tiempos también existen) ¿el tal-y-tal propiedad, incluso la influencia de la verdad de esa condición. La formulación correcta sería $$\exists y: \mathrm{person}(y) \land \text{such-and-such}(y)$$

Answer 2

La comparación de la primera fórmula con la segunda, veo que has cambiado algunos cuantificadores (∀,∃) a la izquierda, así que voy a asumir que esto es lo que usted está tratando de hacer. Como las otras mencionadas estas 2 fórmulas no son equivalentes. Sin embargo, es ciertamente posible para separar el predicado cuantificadores del resto de la proposición, al menos en la lógica clásica.

Ver prenex forma normal.

Answer 3

Estoy de acuerdo con Henning, sólo quería señalar, que el lenguaje natural no es perfecto, y no es más que una forma correcta de interpretar la frase

Los políticos puede engañar a algunas personas todo el tiempo, y se puede engañar a toda la gente algún tiempo, pero no se puede engañar a toda la gente todo el tiempo.

en la lógica de primer orden. El problema es que "engañar a algunas personas todo el tiempo" puede ser traducido (como parte de una fórmula) $$\forall t.\ \exists y.\ P(x,y,t)$$ or to $$\exists y.\ \forall t.\ Q(x,y,t)$$ y esos dos no son equivalentes: en primer lugar querría decir que en todo momento hay alguien que te puede engañar, y la segunda significa que hay alguien que en cada momento pueden ser engañados.