Cuando la igualdad se mantenga en el Titular de la desigualdad?

Question

Estoy pensando en el caso de la serie. En el Titular de la desigualdad, tenemos $$\sum|x_iy_i|\leq\left(\sum|x_i|^p\right)^{\frac1p} \left(\sum|y_i|^q\right)^{\frac1q},$$ donde $\frac1p+\frac1q=1,~p, q>1$.

En la desigualdad de Cauchy (es decir, $p=q=2$), sé que la igualdad ocurre si, y sólo si $x$ $y$ son linealmente dependientes. Me pregunto, cuando la igualdad se mantiene en el Titular de la desigualdad.

Answer 1

La desigualdad de Hölder viene de los Jóvenes de la desigualdad aplica para todos los puntos en el dominio, en el hecho de si $\| x \|_p = \|y\|_q = 1$ (en cualquier otro caso se reduce a la normalización de las funciones) entonces tenemos: $$\sum \left| x_i y_i \right| \le \sum \left( \frac{\left| x_i \right|^p}{p} + \frac{ \left| y_i \right|^p}{q}\right) = \frac{\sum \left| x_i \right|^q}{p} + \frac{\sum \left| y_i \right|^q}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$

La única desigualdad utilizado es el de los Jóvenes de la desigualdad que es una igualdad si y sólo si $$\forall i \;\;\; \left| x_i\right|^p = \left| y_i\right|^q$$

Esto se puede generalizar a una genérica medir el espacio de cambiar el $\forall i$ con un "casi para cada $i$".