Es esta serie infinita de manipulación válido?

Question

El problema es, que se $\{a_n\}$ ser definido de forma recursiva con $a_0 = a_1 = 1$ y

$$a_{n+2} = \frac{2n-1}{(n+1)(n+2)} a_n$$

Espectáculo $\sum_{n \geq 0} a_nx^n$ converge para todos los $x$. La siguiente es mi enfoque.

Claramente $$\lim \left|\frac{a_{n+2}}{a_n}\right| = 0$$

y así por el coeficiente de prueba para cualquier arbitrario pero fijo que no sea cero $x \in \mathbb{R}$

$$\sum_{n \ \text{odd}}^{} a_nx^n \ \text{and} \ \sum_{n \ \text{even}}^{} a_nx^n$$

ambos convergen (el cero caso es trivial). Por lo tanto podemos simplemente sumar las dos series para ver $\sum_{n \geq 0} a_nx^n$ converge.

Mi pregunta es, es esto válido? Estamos reorganizando una serie infinita.

Answer 1

Es válida, porque se puede utilizar el mismo argumento para demostrar que las sumas de impares y pares términos son uniformemente convergente (es decir, $\sum_{\text{odd }n}|a_nx^n|$ es convergente). Entonces se sigue que toda la serie es absolutamente convergente desde $\sum_{n=1}^N|a_nx^n|=\sum_{\text{odd }n\leq N}|a_nx^n|+\sum_{\text{even }n\leq N}|a_nx^n|$, que está limitada por la suma de los valores de la infinita e impares de las sumas.

Una vez que usted sepa la serie es uniformemente convergente puede reordenar los términos, sin el cambio de la suma. (Esto no funciona en general, por ejemplo, los términos de $\sum \frac{(-1)^n}n$ puede ser reorganizado para dar cualquier cantidad que desee. Que la serie no es absolutamente convergente debido a $\sum\frac 1n$ diverge.)