Encontrar un valor para "c"

Question

Por lo que el valor de $c$ $$\lim_{x\to\infty} \left(\frac{x+c}{x-c}\right)^x = e?$$

Estoy seguro de cómo empezar esta pregunta en cualquier sentido.

Answer 1

He aquí una sugerencia:

$$e = \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x.$$

Vamos a dejar que $y=x-c$ en su expresión (de modo que $x = y+c$), dado que $x\to\infty$, $y\to\infty$ y llegamos

$$\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x+c}{x-c}\right)^x = \lim_{y\to\infty}\left(\frac{y+c+c}{y}\right)^{y+c} = \lim_{y\to\infty}\left(1+\frac{2c}{y}\right)^y\left(1+\frac{2c}{y}\right)^c.$$

Se puede tomar desde aquí?

Answer 2

Sugerencia: Si se toma el logaritmo en ambos lados, se obtiene

$\operatorname{ln}(\lim_{x\to\infty}(\frac{x+c}{x-c})^x)=\operatorname{ln}(e)$.

¿Qué sabe usted acerca de la función de $\operatorname{ln}$?

Answer 3

Usted también tiene una solución con series de Taylor.

Vamos $$A=\left(\frac{x+c}{x-c}\right)^x$$ $$\log(A)=x \log \left(\frac{x+c}{x-c}\right)=x \log \left(\frac{1+\frac cx}{1-\frac cx}\right)$$ For small values of $y$, we also have $$\log \left(\frac{1+y}{1-y}\right)=2 \Big(\frac{y}{1}+\frac{y^3}{3}+\cdots\Big)$$ Replace $y$ by $\frac{c}{x}$ and so $$\log(A)=2x \Big(\frac{ c}{x}+\frac{ c^3}{3 x^3}+O\left(\left(\frac{1}{x}\right)^4\right))=2 c+\frac{2 c^3}{3 x^2}+O\left(\left(\frac{1}{x}\right)^4\right)$$ $$A=e^{2 c}\Big(1+\frac{2 c^3 }{3 x^2}+O\left(\left(\frac{1}{x}\right)^4\right)\Big)$$ que muestra el límite y cómo la expresión va al límite.