¿Cuál es la ecuación general de la elipse que no está en el origen y está rotada por un ángulo?

Question

Tengo la ecuación no en el centro, es decir,

$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1.$$

¿Pero cuál será la ecuación una vez que esté rotada?

Answer 1

¡Después de muchos errores finalmente obtuve la ecuación correcta para mi problema!:-

$$\dfrac {((x-h)\cos(A)+(y-k)\sin(A))^2}{a^2}+\dfrac{((x-h) \sin(A)-(y-k) \cos(A))^2}{b^2}=1,$$

donde $h, k$ y $a, b$ son los desplazamientos y semiejes en las direcciones $x$ y $y$ respectivamente y $A$ es el ángulo medido desde el eje $x$.

Answer 2

La ecuación que diste se puede convertir a la forma paramétrica: $$ x = h + a\cos\theta \quad ; \quad y = k + b\sin\theta $$ Si dejamos que $\mathbf x_0 = (h,k)$ denote el centro, entonces también se puede escribir como $$ \mathbf x = \mathbf x_0 + (a\cos\theta)\mathbf e_1 + (b\sin\theta)\mathbf e_2 $$ donde $\mathbf e_1 = (1,0)$ y $\mathbf e_2 = (0,1)$.

Para rotar esta curva, elige un par de vectores unitarios mutuamente ortogonales $\mathbf u$ y $\mathbf v$, y luego $$ \mathbf x = \mathbf x_0 + (a\cos\theta)\mathbf u + (b\sin\theta)\mathbf v $$ Una manera de definir los vectores $\mathbf u$ y $\mathbf v$ es: $$ \mathbf u = (\cos\alpha, \sin\alpha) \quad ; \quad \mathbf v = (-\sin\alpha, \cos\alpha) $$ Esto te dará una elipse que está rotada por un ángulo $\alpha$, con centro aún en el punto $\mathbf x_0 = (h,k)$.

Si prefieres una ecuación implícita, en lugar de paramétricas, entonces cualquier elipse rotada (o, de hecho, cualquier curva de sección cónica rotada) se puede representar por una ecuación general de segundo grado de la forma $$ ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0 $$ El problema con esto, sin embargo, es que el significado geométrico de los coeficientes $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ no está muy claro.

Hay más detalles en esta página.

Adición. Tomando prestada la solución de rschwieb ...

Dado que pareces querer una sola ecuación implícita, procede de la siguiente manera. Deja que $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. Entonces los focos de la elipse rotada están en $\mathbf x_0 + c \mathbf u$ y $\mathbf x_0 - c \mathbf u$. Usando la definición de la elipse con "alfiler y cuerda", que se describe aquí, su ecuación es $$ \Vert\mathbf x - (\mathbf x_0 + c \mathbf u)\Vert + \Vert\mathbf x - (\mathbf x_0 - c \mathbf u)\Vert = \text{constante} $$ Esto es equivalente al que dio rschwieb. Si sustituyes $\mathbf u = (\cos\alpha, \sin\alpha)$ en esto, y expandes todo, obtendrás una sola ecuación implícita.

Los detalles son complicados (probablemente por eso nadie realmente quiere escribir todo para ti).

Answer 3

Otra opción es usar la definición geométrica de una elipse como el conjunto de puntos cuya suma de distancias a los focos es constante.

Si los focos están en $(a,b)$ y $(a',b')$, y la suma de distancias es $C$, obtenemos:

$$\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}+\sqrt{(x-a')^2+(y-b')^2}=C$$

Answer 4

Como se mencionó, utilizando la definición del centro de una elipse como la intersección de sus ejes de simetría, tu ecuación para una elipse está centrada en $(h,k)$, pero no está rotada, es decir, los ejes de simetría son paralelos a los ejes x e y.

Si esto no fuera verdad, tendrías un término de producto cruzado que involucra a $x \times y$. Si tuvieras dicho término, podrías calcular el ángulo de rotación en sentido antihorario $\alpha$ necesario para eliminar el término de producto cruzado (y así hacer que los ejes de simetría sean paralelos a los ejes x e y).

Una forma es utilizar la fórmula $$\cot 2\alpha = \frac{A - C}{B},$$ donde $\alpha$ es el ángulo de rotación en sentido antihorario, $A$ es el coeficiente de $x^2$, $B$ el coeficiente del término de producto cruzado $x \times y$, y $C$ es el coeficiente de $y^2$.

Para aplicar la rotación una vez que conoces $\alpha$, puedes encontrar las nuevas coordenadas $x', y'$ en términos de $x, y$ mediante $x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$ e $y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$.

Fuente: Cálculo y Geometría Analítica, por George Thomas (paráfrasis).

Answer 5

Si deseas que el centro sea $(h,k)$

• primero aplica una transformación general de rotación de coordenadas a $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$$ para rotar los ejes al ángulo que desees.

• después traslada el centro a $(h,k)$ reemplazando el nuevo $x$ y $y$ por $(x-h)$ y $(y-k)$.