Una pregunta básica acerca de la prueba de la existencia de un producto a medida

Question

Supongamos que $(X,\mathcal F_1,\mu)$ $(Y,\mathcal F_2,\nu)$ son de medir los espacios, y supongamos que $\mu$ $\nu$ son finitos medidas. Definir la función de $\nu_E : X \to \Bbb R$ por $$\nu_E(x) = \nu \big(\{y: (x,y) \in E\}\big),$$ where $E \in \mathcal F_1 \otimes \mathcal F_2$. (Note that it is not a Cartesian product, but the $\sigma-$algebra generated by the measurable rectangles). Define $$L=\{E \in \mathcal F_1 \otimes \mathcal F_2 : \nu_E \text{ is measurable}).$$ I want to prove that $L$ is a $\lambda$sistema. Yo soy capaz de ver las dos primeras propiedades, pero atrapado en la comprobación de que es cerrado bajo la desunión de la unión.

Answer 1

Supongamos $(E_i)_{i\geq 1}\subseteq L$ es una secuencia de pares distintos conjuntos de $L$ y deje $E=\bigcup\limits_{i\geq 1} E_i$. A continuación, $E\in \mathcal{F}_1\otimes \mathcal{F}_2$ y $$ \{y: (x,y)\in E\}=\bigcup_{i\geq 1}\,\{y:(x,y)\in E_i\} $$ con la RHS ser disjuntos a pares de la unión. Así $$ \nu_E(x)=\sum_{i\geq 1}\nu_{E_i}(x) $$ que es mensurable desde cada una de las $\nu_{E_i}$ es medible.