Álgebra lineal matriz $Ax=b$ verdadero o falso nullspace

Question

$Ax=b$

$m$ número de Filas

$n$ número de columnas

verdadero o falso

A) Si $n > m$, dado cualquier $b$ siempre se puede solucionar $Ax=b$.

La respuesta: Falso. Contraejemplo: a es la matriz cero.

Hemos incógnitas más que ecuaciones, por lo que siempre se puede solucionar $Ax=b$. ¿Por qué la respuesta es falsa? E incluso si $A$ es la matriz cero tenemos las matrices x = zeros, a continuación, $b$ ceros, así que siempre hay respuesta!! ¿Alguien puede explicar por qué la respuesta es falsa? ¿Cómo puede él demostró ser falsa por $A$ es la matriz cero?

B) Si $n < m$, la única solución de $Ax=0$ $x=0.$ La respuesta: Falso. Contraejemplo: vamos a $A$ser la matriz cero.

Entiendo por qué es falso, pero me pregunto, ¿hay algún caso especial que hace que esta afirmación sea verdadera?

Editar: He hecho una matriz de $A= 2$ filas $\times 1$ columna contiene $(1,0)$ y asumir Ax=0 como la instrucción, la única solución es que cuando x=0 porque no se puede utilizar escalonada. es lo que yo hice correcta para hacer la declaración de la verdad?

Answer 1

Para a), la declaración es que, dado cualquier $b \in \mathbb{R}^n$, no es una solución a la ecuación de matriz $Ax = b$. Pero si $A$ es la matriz cero, entonces no es sólo una $b$ para el cual no hay una solución, a saber,$b=0$. Ya hay algunas $b$ que $Ax = b$ no puede ser resuelto, el original de la declaración es falsa.

Para B), la condición de que la única solución a $Ax=0$ $x=0$ significa que no hay variables libres en la reducción escalonada de $A$. O dicho de otra manera, al aplicar Gauss-Jordan eliminación, usted debe obtener la $n$ pivotes (o, equivalentemente, $n$ cero filas). Dicho aún de otra manera, la única solución a $Ax = 0$ $x=0$ exactamente cuando el rango de $A$ es igual a $n$.