inconsistencia de la fórmula de Plücker

Question

Soy principiante en curvas algebraicas y como ejercicio estoy jugando con la fórmula de Plücker. Estoy encontrando alguna incoherencia en estas fórmulas y me gustaría saber en qué me equivoco.

Conocemos la curva dual de una curva dual de $F$ es el $F$ sí mismo.

Ahora, vamos a $F$ sea un cúbico no singular, entonces por la fórmula de Plücker tenemos para el dual

$d^{\vee}=d(d-1)$ y con $d=3$ tenemos $d^{\vee}=3\cdot 2=6$ .

Pero si vuelvo a utilizar esta fórmula para encontrar el grado de $F$ sí tenemos:

$(d^{\vee})^{\vee}=d^{\vee}(d^{\vee}-1)$ y con $d^{\vee}=6$ tenemos $(d^{\vee})^{\vee}=6\cdot 5=30 \neq 3=d$ .

Como vemos, $d$ y $(d^{\vee})^{\vee}$ no son iguales como esperábamos.

¿Alguien podría aclarar esto, por favor?

Gracias de antemano

Answer 1

El dual de un plano cúbico no es suave. Más bien, para cada uno de los $9$ -flexiones de $F$ , hay una cúspide de $F^{\vee}$ . El doble dual $(F^{\vee})^{\vee}$ es la unión del original $F$ , además $9$ líneas. Cada una de esas líneas ocurre con multiplicidad $3$ por razones que no me quedan claras. (Por lo tanto $30=3+9 \times 3$ .)

Recuerde que la curva dual debe pensarse como si viviera en el plano proyectivo dual a la curva original. Si $C$ en $\mathbb{P}$ tiene una singularidad en $x \in \mathbb{P}$ entonces la curva dual $C^{\vee}$ en $\mathbb{P}^{\vee}$ contendrá una línea, que será la línea dual a $x$ . Un punto de esta línea corresponde a una línea en $\mathbb{P}$ a través de $x$ . Como lema "cualquier línea que pasa por una singularidad es una línea tangente".

Para profundizar en la relación entre las singularidades de $C$ y la geometría de $C^{\vee}$ Véase el capítulo 2.4 de Griffiths y Harris, Principios de geometría algebraica .