La descomposición de Hölder funciones continuas

Question

Deje $\alpha\in(0,1)$ $\eta\in\Lambda_0^\alpha(\mathbb{R})$ ser una compacta compatible Hölder función continua de la orden de $\alpha$. Me gustaría demostrar que, para cualquier $n\in\mathbb{N}$, es posible descomponer $$\eta=f+g$$ de tal manera que $f\in C^n(\mathbb{R})$$||f||_{C^n}=O(R^C)$, e $g\in L^\infty(\mathbb{R})$$\|g\|_{L^\infty}=O(R^{-1})$.

Aquí $C$ es una constante universal. Por otro lado, el parámetro real $R$ puede ser elegido tan grande como se quiera (a expensas del aumento de $\|f\|_{C^n}$).

Gracias!

Answer 1

He llevado a cabo la sugerencia en el último párrafo de Yemon Choi de la respuesta. Elegir $\phi\in C^\infty(\mathbb{R})$, $\phi\ge0$ y $\int_{\mathbb{R}}\phi(x)dx=1$, y deje $\phi_R(x)=R\phi(Rx)$. Definir

$$ f=\phi_R\star\eta,\quad g=\eta-f.$$

Entonces es fácil ver que

$$ \|f\|\_{C^n}=O(R^{n-\alpha}),\quad \|g\|\_\infty=O(R^{-\alpha}),$$

pero esto no es lo que usted está pidiendo.

Mi sensación es que la constante de $C$ debe mostrar cierta dependencia de la $n$.

En respuesta a tu último comentario, déjame probar la estimación del $\|f\|_{C^n}$. Tenemos

$$f^{(n)}=(\phi_R)^{(n)}\star\eta=R^n(\phi^{(n)})_R\star\eta.$$

Desde $(\phi^{(n)})_R$ tiene una media de cero, para cualquier $x\in\mathbb{R}$:

$$ |f^{(n)}(x)|\le R^n\int_{\mathbb{R}}|\phi^{(n)}(y)||\eta(x-\frac{y}{R})-\eta(x)|dy\le HR^{n-\alpha}\int_{\mathbb{R}}|\phi^{(n)}(y)||y|^\alpha dy,$$

donde $H$ $\eta$'s Hölder constante.

Answer 2

Esta es sólo una parcial sugerencia de cómo obtener una respuesta, en lugar de una completa; pero era demasiado larga para el cuadro de comentario.

Aunque no recuerdo los detalles con la mano, parece que su pregunta podría ser respondida por los resultados conocidos sobre la tasa de aproximación en $\Lambda_0^\alpha({\mathbb R})$ por polinomios trigonométricos. Este es el clásico material de la serie de Fourier y creo que uno puede encontrar los detalles en algo como Katznelson "Introducción al Análisis Armónico".

A grandes rasgos, la idea es mover su problema en el círculo, por ejemplo, mediante la ampliación de $\eta$ a una función periódica en la recta real, y, a continuación, tome $f$ a ser un trigonométricas polinomio que aproxima $\eta$ a en $R^{-1}$ en el de Lipschitz de la norma. Si recuerdo correctamente, pero no estoy seguro de que podemos tomar $f$ a ser de grado $N$ donde $N^\alpha\sim R$, y luego algo parecido a la desigualdad de Bernstein nos diría que el $C^n$ norma de $f$ es en la mayoría de los de la orden de $N^n = R^{n/\alpha}$.

Si he recordado estos resultados correctamente, entonces debe haber una mejor y más directa manera de resolver nuestra pregunta, por convolving $\eta$ con algún tipo de suavizado kernel como un Jackson kernel. Sin embargo, ya que ha sido un tiempo desde que he visto esta, no estoy seguro: Katznelson del libro debe de tener suficiente para trabajar.