Probar que si $p$ $8p-1$ son números primos, a continuación, $8p+1$ es compuesto

Question

Probar que si $p$ $8p-1$ son números primos, a continuación, $8p+1$ es compuesto.

No sé por dónde empezar... les agradecería algunos consejos. Gracias!

Answer 1

Si $8p-1$ es primo, tenemos $p \neq -1 \mod 3$.

Esto nos deja con $p=3$ (do este caso con la mano) o $p = 1 \mod 3$, pero, a continuación,$8p+1 = 0 \pmod 3$.

Answer 2

Si $8p-1$ es primo, entonces no es divisible por 3.

$8p$ tampoco es divisible por 3, ya que $p$ es un número primo.

Sin embargo, cada tercer número debe ser divisible por 3. Eso significa que $8p+1$ es divisible por 3, lo que significa que está compuesto.

Answer 3

Primero asuma $p>3$,$p\equiv\pm1\bmod6$.

Si $p\equiv-1\bmod6$$8p-1\equiv2(-1)-1\equiv3\bmod6$, pero esto implica $3\mid8p-1$ $8p-1$ es compuesto (por la restricción en $p$ por encima de, $8p-1>23$). Por lo tanto, para $p$ $8p-1$ primo, $p\equiv1\bmod6$, pero esto significa $8p+1\equiv2(1)+1\equiv3\bmod6$$3\mid8p+1$, lo $8p+1$ compuesto ($8p+1>25$).

Esto deja a $p=2$ $p=3$ a ser probado. Si $p=2$, $8p-1=15$ es compuesto; si $p=3$, $8p-1=23$ es el primer pero $8p+1=25$ es compuesto. Por lo tanto, la proposición es demostrar la verdad.

Answer 4

Lo de "por dónde empezar" con una pregunta como esta: me gustaría empezar por la búsqueda de números primos $p$ tal que $8p-1$ es primo, y ver si el primer factorizations de $8p+1$ tienen nada en común. Una lista de números primos como este uno es útil. Para $p < 100$, me parece

$$3, 23, 25 = 5 \times 5$$ $$13, 103, 105 = 3 \times 5 \times 7$$ $$19, 151, 153 = 3^2 \times 17$$ $$61, 487, 489 = 3 \times 163$$ $$79, 631, 633 = 3 \times 211$$

y a partir de esto se obtiene la idea de que si $p$ $8p-1$ son ambos primos, entonces quizás $8p+1$ debe ser divisible por 3.

Así que vamos a $p$ ser un primo tal que $8p-1$ es también el primer. Si $p$ es primo, $p = 3k+1$ o $p = 3k-1$ para algunos entero $k$. (Estoy omitiendo el $p = 3$ de los casos, que necesita ser tratada por separado.) Si $p = 3k-1$$8p-1 = 24k-9 = 3(8k-3)$, lo $8p-1$ es divisible por 3, y por lo tanto $8p-1$ no es primo. Así que debemos tener $p = 3k+1$, y, a continuación,$8p+1 = 24k+9 = 3(8k+3)$, lo $8p+1$ no es primo.