La igualdad de Expecations con Respecto a i.yo.d Variables Aleatorias.

Question

Si tenemos $n$ i.yo.d variables aleatorias $X_1,\ldots,X_n$, y algunos de los verdaderos valores de la función $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, es cierto que $\mathbb{E}(g(X_1)) = \cdots = \mathbb{E}(g(X_n))$? Creo que esto es cierto ya que todas las variables aleatorias siguen la misma distribución, cuando se llega a esto, el cálculo de la expectativa de cada variable aleatoria sigue el mismo procedimiento, resultando en la misma respuesta. ¿Alguien puede proporcionar una explicación más rigurosa justificación/prueba? O es esta una multa de prueba?

deje $i,j \in \{1,\ldots,n\}$$i \neq j$.

Discretos caso:

Desde $X_1,\ldots,X_n$ son yo.yo.d, todos ellos tienen la misma probabilidad asociada de la función, por lo $$\mathbb{E}(g(X_i)) = \sum_{\text{all }x} g(x)\mathbb{P}(X_i = x) = \sum_{\text{all} \ x} g(x)\mathbb{P}(X_j = x) = \mathbb{E}(X_j)$$

Continua, caso:

Desde $X_1,\ldots,X_n$ son yo.yo.d, todos ellos tienen la misma asociados pdf $f$, lo $$\mathbb{E}(g(X_i)) = \int_{\text{all } x} g(x) f(x) \, dx = \mathbb{E}(g(X_j))$$

Por lo tanto, el resultado.

Answer 1

Sugerencias: basta demostrar que si $X$ $Y$ son iguales en la distribución,también se $g(X)$ $g(Y)$ para cualquier Borel medible función de $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, debido a que la expectativa está determinada por la distribución de una variable (y no la variable en sí). Usted puede utilizar la inducción.

Esto fácilmente de la siguiente manera utilizando las definiciones.