¿Cuál es el mayor orden de cualquier elemento en $U_{900}$ ?

Question

¿Cuál es el mayor orden de cualquier elemento en $U_{900}$ ? He encontrado que es isomorfo a $\mathbb Z _{240}$ . Así que supongo que debería ser $240$ . ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Utilizando Función de Carmichael

$\lambda(900)=$ lcm $(\phi(2^2),\phi(3^2),\phi(5^2))=$ lcm $(2,6,20)=60$

Answer 2

Primero se factoriza $900 = 3^2 \cdot 5^2 \cdot 2^2$ . Entonces se determina el orden máximo en $U_9$ , en $U_{25}$ y en $U_4$ (ya deberías conocer la estructura general de los grupos para potencias primarias). Por último, el teorema chino del resto te dice que $U_{900}$ es el producto de estos tres grupos, por lo que el orden máximo en $U_{900}$ es el mínimo común múltiplo de los órdenes máximos de los tres componentes.

Answer 3

Sugerencia $\ $ La descomposición CRT es $\rm\ \Bbb Z/900 = \Bbb Z/4 \times \Bbb Z/9 \times \Bbb Z/25\ $ así que $\rm\: U_{900} = U_{4}\times U_9\times U_{25},\ $ un producto de grupos cíclicos de orden $\rm\ \phi(4)=2,\ \phi(9)=6,\ \phi(25)=20,\:$ con lcm $= 60,\:$ no $240$ . Esto implica $\rm\:a^{60} = 1\:$ para todos $\rm\:a\in U_{900}.\:$ De hecho, si $\rm\:(a,b,c)\in C(i) \times C(j) \times C(k),\:$ un producto de grupos cíclicos de orden $\rm\:i,j,k,\:$ entonces

$$\rm \ell = lcm(i,j,k)\mid n\:\Rightarrow\: i,j,k\mid n\:\Rightarrow\:(a,b,c)^n = (a^n,b^n,c^n) = 1$$

Así que el mayor pedido $\rm\:\color{#c00}{m \le \ell}.\:$ Por el contrario, tomar $\rm\:a,b,c\:$ para ser generadores

$$\rm\ 1 = (a,b,c)^n = (a^n,b^n,c^n) \:\Rightarrow\: i,j,k\mid n\:\Rightarrow\ \ell = lcm(i,j,k)\mid n$$

Así, $\rm\: \ell\le m.\:$ Combinando $\rm\: \color{#c00}{m \le \ell} \le m,\:$ por lo que $\rm\:m = \ell.$

Nota: $\ $ Busca el Función lambda de Carmichael para saber más sobre el caso general.

Answer 4

Ese es el mayor orden posible, pero eso no significa que deba existir un elemento con ese orden. He ejecutado un script de Python y no he podido encontrar ninguno.

for i in range(900):
    if gcd(900, i) == 1:
        order = 1
        total = i
        while total != 1:
            total = (total * i) % 900
            order += 1
        if order == 240:
            print(i)

EDIT: Hoy he aprendido que se necesitan las etiquetas <pre>.