En la línea real extendida, ¿es$(-\infty,+\infty)$ todavía un conjunto cerrado?

Question

En la línea real$(-\infty,+\infty)$ está abierto y cerrado. En la línea real extendida$[-\infty,+\infty]$, ¿es$(-\infty,+\infty)$ todavía un conjunto cerrado? Gracias.

Answer 1

Pista: ¿Está abierto el conjunto complementario en la línea extendida?

Answer 2

El complemento de$(-\infty,\infty)$ es$\{-\infty,\infty\}$. Un conjunto finito está cerrado (pero no abierto) en la topología estándar en$\mathbb{R}$ (y la línea real extendida hereda las propiedades topológicas de$\mathbb{R}$). Thefore$(-\infty,\infty)$ no está cerrado, pero está abierto.

EDITAR: Más directamente, un conjunto en$\mathbb{R} \cup \{ \pm \infty\}$ se cierra si y solo si contiene todos sus puntos límite. Pero podemos construir muchas secuencias en$(-\infty,\infty)$ cuyo límite no está en$(-\infty,\infty)$. Secuencias como$\{ n | n \in \mathbb{N}\}$,$\{ x^2 | x \in \mathbb{R}\}$, y así sucesivamente, como han señalado otros.

Answer 3

La línea extendida es la primera contable, por lo que un conjunto se cierra si y solo si contiene todo el límite de secuencias convergentes en él. Qué pasa $x_n=n$? Es una secuencia de elementos de$(-\infty,\infty)$, y es convergente en la línea extendida. ¿Dónde está el límite?

Answer 4

El extendido línea real se obtienen sumando los puntos de $-\infty$$+\infty$$\mathbb{R}$.

El complemento de $\mathbb{R}$$\{-\infty,\infty\}$, que es cerrado. El complemento de $\{-\infty,+\infty\}$$\mathbb{R}$.

Desde el complemento de un conjunto cerrado, es abierto, se deduce que el $\mathbb{R}$ está abierto.