Si$X$ y$Y$ son variables aleatorias, ¿es$Z=(X, Y)$ una variable aleatoria?

Question

¿Qué definición utilizamos para variable aleatoria? ¿Cómo mostramos que$Z=(X,Y)$ es una variable aleatoria?

Answer 1

Podríamos llamar a $Z$ un vector aleatorio (pero sí, es aleatorio).

Las variables aleatorias se define dentro de un espacio de probabilidad y que incluye un espacio muestral $\Omega$. Dentro de un espacio de este tipo, con un valor real variables aleatorias $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ $Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ funciones$^\dagger$ desde el espacio muestral para el espacio Euclidiano. Ha $Z \equiv (X,Y)$ $Z(\omega) = (X(\omega), Y(\omega)) \in \mathbb{R}^2$ todos los $\omega \in \Omega$, lo que significa que el último es un mapeo de $Z:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^2$.$^\dagger$ Esto significa que es un dos-elemento real aleatorios vectoriales.

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$^\dagger$ Formalmente, variables aleatorias deben ser medibles funciones, que es un requisito formal de la teoría de la medida. Si usted es nuevo a tratar con variables aleatorias, simplemente ignore esta parte; lo menciono para su integridad. Se puede demostrar que measureability de $X$ $Y$ implica measureability de $Z$, por lo que este requisito se cumple en este caso. (Sombrero de punta a whuber en los comentarios para destacar la importancia de la propiedad esta última.)

Answer 2

Ser formal, usted necesita para configurar un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ (a discutir la mensurabilidad sólo, la probabilidad de medida $P$ no es ni siquiera necesario, ya que el argumento de abajo muestra). Lo que se desea confirmar es que dado $X$ $Y$ dos $\mathscr{F}$medible de las asignaciones de$\Omega$$\mathbb{R}^1$, $Z$ $\mathscr{F}$medible de asignación de$\Omega$$\mathbb{R}^2$.

Esto está listo para comprobar observando que para cualquier $(x, y) \in \mathbb{R}^2$, tenemos \begin{align} & \{\omega: Z(\omega) \leq (x, y)\} \\ = & \{\omega: X(\omega) \leq x, Y(\omega) \leq y\} \\ = & \{\omega: X(\omega) \leq x\} \cap \{\omega: Y(\omega) \leq y\} \in \mathscr{F} \end{align} como ambos conjuntos después de la última igualdad signo son en $\mathscr{F}$ por la mensurabilidad de $X$$Y$, y que el $\sigma$campo $\mathscr{F}$ es cerrado bajo intersección.

Tenga en cuenta también el recíproco de la declaración también es cierto: si $Z$ es un vector aleatorio, entonces cada uno de sus componentes es una variable aleatoria.