Fijar $a,c,k > 0$ .
Dejemos que $f\colon (0,1] \to \mathbb{R}$ se define por $$f(x)=\frac{1-x}{x+c\,\mathrm{e}^{k/x}(a+x-ax)}$$ El objetivo es demostrar que $f$ es unimodal.
Dejemos que $S=\{x \in (0,1)\mid f'(x) = 0\}$ .
Obsérvese que el denominador de $f$ es positivo para todos los $x$ ya que $$a + x -ax = a(1-x) + x > 0$$
Así, tenemos $$f(x) > 0\;\;\text{if}\;\,0 < x < 1,\;\,\text{and}\;f(1)=0$$ A continuación, observe que $$\lim_{x=0^{+}}f(x) = \lim_{x=0^{+}}\frac{1}{ac\,e^{k/x}} = \frac{1}{\infty} = 0$$ De ello se desprende que $f$ realiza un valor máximo global para algunos $x \in (0,1)$ .
Así, $f'(x)$ tiene al menos un cero en $(0,1)$ Por lo tanto $S$ es no vacía.
Para demostrar que $f$ es unimodal, queda por demostrar que $S$ no puede tener más de un elemento.
Informática $f'(x)$ y lo pone a cero, y luego aísla $e^{k/x}$ obtenemos la ecuación $${\large{e^{k/x}}}= \frac{(1/c)x^2}{(ka-k-1)x^2+(k-2ka)x+ka}$$ que debe mantenerse en $x=s$ para todos $s \in S$ .
Así, para $s \in S$ Debemos tener $h(s) > 0$ , donde $$h(x) = (ka-k-1)x^2+(k-2ka)x+ka$$
Tenga en cuenta que $h(0) = ka > 0$ y $h(1) = (ka-k-1)+(k-2ka)+ka=-1 < 0$ .
Dejemos que $E = \{x \in \mathbb{R} \mid h(x) > 0\}$ y que $D = E \cap (0,1)$ .
Por supuesto $D,E$ son conjuntos abiertos.
Desde $h$ es continua, y $h(0) > 0$ se deduce que $D,E$ son no vacíos.
Reclamación $D$ es un intervalo abierto. $\;$ Considere $3$ casos
Caso $(1)\,$ : $\;ka-k-1 < 0$ .
Entonces $h$ es un polinomio cuadrático con coeficiente principal negativo, por lo tanto, como $E$ es no vacía, se deduce que $E$ es un intervalo abierto, por lo que $D$ también es un intervalo abierto.
Caso $(2)\,$ : $\;ka-k-1 = 0$ .
Entonces $ka = k + 1$ Por lo tanto $h(x) = (-k-2)x + (k+1)$ Por lo tanto, dado que $-k-2 < 0$ , $h$ es un polinomio de grado $1$ . De ello se desprende que $E$ es un intervalo abierto, por lo que $D$ también es un intervalo abierto.
Caso $(3)\,$ : $\;ka-k-1 > 0$ .
Entonces $h$ es un polinomio cuadrático con coeficiente principal positivo, por lo que, como $h(0) > 0$ y $h(1) < 0$ , $h$ debe tener raíces $r_1,r_2$ , donde $0 < r_1 < 1$ y $r_2 > 1$ . De ello se desprende que $D = (0,r_1)$ Así que $D$ es un intervalo abierto.
Así, en todos los $3$ casos, $D$ es un intervalo abierto.
Dejemos que $g\colon D \to \mathbb{R}$ se define por $$g(x)=\frac{x^2}{h(x)}$$ Desde $h(x) > 0$ en $D$ se deduce que $g$ es diferenciable en $D$ .
Informática $g'(x)$ obtenemos $$ g'(x) = \frac {(xk)\bigl(2a(1-x)+x\bigr)} { c\left(h(x)^2\right) } $$ que es positivo, ya que tanto el numerador como el denominador son positivos.
Así, $g$ es estrictamente creciente en $D$ .
Pero $e^{k/x}$ es estrictamente decreciente en $D$ .
De ello se deduce que la ecuación $e^{k/x} = g(x)$ que se mantiene en $x=s$ para todos $s \in S$ tiene como máximo una solución en $D$ .
Pero $s \in S$ implica $s \in D$ Por lo tanto $S$ tiene como máximo un elemento.
Por lo tanto, $f$ es unimodal.
