Una interesante aplicación del teorema de la categoría de Baire.

Question

Aquí es una aplicación interesante de de categoría de Baire teorema.

Deje $f: \ \mathbb R \to \mathbb R $, entonces existe un intervalo no vacío $(a,b) $ y un número positivo $c $ tal que para cualquier $x \in (a,b) $ hay una secuencia $\{x_n \} $ tal que $x_n \to x $ e $|f(x_n)| \le c $.

Yo no soy capaz de resolverlo. Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Podríamos considerar de la siguiente manera: dado $f$, estamos tratando de demostrar que no existe $c > 0 $ tal que el intervalo abierto no vacío $(-c,c)$ tiene la propiedad de que $f^{-1}{((-c,c))}$ es denso en algún intervalo abierto no vacío $(a,b)$. Supongo que no; es decir, por cada $c$ mayor que cero, $f^{-1}(c)$ es denso en ninguna parte. Luego tomar la unión de $f^{-1}((-1,1)),f^{-1}((-2,2)), f^{-1}((-3,3))\dots$