$ af'( \xi )+bf'( \eta )=0 $ para algunos $ 0< \xi < \eta <1 $

Question

Supongamos que $ f(x) $ es una función diferenciable definida en $ [0, 1] $ satisfaciendo $ f(0)=f(1) $ y por cada $ 0<a<b $ existen $ 0< \xi < \eta <1 $ de tal manera que $ af'( \xi )+bf'( \eta )=0 $ .

Mi intento: WLOG, asume que $ f(0)=f(1)=0 $ . Si $ f'(x) $ tiene al menos dos ceros en $ (0, 1) $ y luego se establece $ f'( \xi )=f'( \eta )=0 $ y hemos terminado. Nos deja para probar cuando $ f'(x) $ tiene exactamente un cero en $ (0, 1) $ . Debe quedar claro que $ \xi $ y $ \eta $ no serán ceros de $ f'(x) $ en $ (0, 1) $ por nuestra suposición. Así que basta con mostrar que $$ \frac {f'( \xi )}{f'( \eta )}<-1 $$ para algunos $ \xi $ y $ \eta $ . Entonces estoy atascado......

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EDITAR:

Es bastante claro ver que $ \frac {f'( \xi )}{f'( \eta )}<0 $ para algunos $ 0< \xi < \eta <1 $ . Desde $ f'(x) $ tiene sólo un cero en $ (0, 1) $ entonces WLOG, asumimos que $ f(x)>0 $ cuando $ x \in (0, 1) $ .

Answer 1

Obsérvese que por el teorema del valor medio, existen $ \displaystyle\xi\in \left (0, \frac {a}{a+b} \right )$ y $ \displaystyle\eta\in\left ( \frac {a}{a+b},1 \right )$ de tal manera que $$ \begin {align*} \frac {a}{a+b}f'( \xi )&=f \left ( \frac {a}{a+b} \right )-f(0) \\ &=-f(1)+f \left ( \frac {a}{a+b} \right ) \\ &=- \frac {b}{a+b}f'( \eta ). \end {align*}$$ Sigue $0< \xi < \eta <1$ y $ \displaystyle af'( \xi )+bf'( \eta )=0$ .
Nota: De hecho, no necesitamos asumir $a<b$ .