Un ideal es radical si y sólo si $x^2\in I\Rightarrow x\in I$

Question

Intentaba demostrar lo siguiente:

Sea $R$ sea un anillo conmutativo. Supongamos que $I$ es un ideal de $R$ . Entonces $I$ es un ideal radical si y sólo si para $x\in R$ tal que $x^2\in I$ entonces $x\in I$ .

Una dirección es muy fácil. Si supones $I$ es radical, el resultado es inmediato.

La otra dirección no es tan fácil. Tenemos que demostrar que para cualquier $n$ , $x^n\in I\Rightarrow x\in I$ . Traté de demostrarlo por inducción, pero hay algunos problemas cuando $n$ es impar. Creo que el problema se puede reducir a probarlo cuando $n$ es un primo impar.

Pero no sé si este es el mejor enfoque. Quizá sea mejor suponer $x$ está en todos los ideales primos que contienen $I$ y tratar de demostrar $x\in I$ pero a primera vista parece más enrevesado hacerlo así. Entonces, ¿cómo puedo proceder?

Answer 1

Asuma su condición $x^2\in I\implies x\in I$ retenciones.

Supongamos que $x^3\in I$ . Entonces $x^4\in I$ desde $I$ es un ideal, y $x^4=xx^3$ . Por lo tanto $x^2\in I$ (como $(x^2)^2\in I$ ) y así $x\in I$ .

Véase más arriba la $x^4\in I$ caso.

Supongamos que $x^5\in I$ . Entonces $x^6\in I$ desde $I$ es un ideal, y $x^6=xx^5$ . Por lo tanto $x^3\in I$ (como $(x^3)^2\in I$ ) y hemos visto que implica que $x\in I$ .

Y así sucesivamente...