Una estructura casi compleja en$M$ es equivalente a una reducción del grupo de estructura del paquete tangente

Question

Deje $M$ ser $2n$-dimensiones múltiples. Deje $\mathcal{F}_{\mathrm{GL}(2n, \mathbb{R})}$ ser el marco de paquete de más de $M$. Considerar el subgrupo $\mathrm{GL}(n, \mathbb{C})\subset\mathrm{GL}(2n, \mathbb{R})$. Lo que estoy tratando de demostrar es:

Si $M$ casi tiene un estructura compleja $J:TM\rightarrow TM$ , a continuación, hay una reducción de la estructura de grupo $\mathrm{GL}(2n, \mathbb{R})$ de $\mathcal{F}_{\mathrm{GL}(2n, \mathbb{R})}$ a $\mathrm{GL}(n, \mathbb{C})$.

El recíproco también es cierto, y yo era capaz de demostrarlo. Pero estoy atascado en esta dirección. ¿Alguien tiene una sugerencia?

Answer 1

Vamos a interpretar los puntos en el marco de paquete de más de $x\in M$ lineal isomorphisms de $u:\mathbb R^{2n}\to T_xM$. La fijación de una identificación de $\mathbb R^{2n}$ con $\mathbb C^n$, puede ver cada una de las $u$ como un verdadero lineal isomorfismo $\mathbb C^{n}\to T_xM$. Ahora, más de la $x\in M$Para un punto de $x\in M$, considerar el subconjunto de aquellos lineal isomorphisms para que $u(iz)=J_x(u(z))$ para todos los $z\in\mathbb C^n$. Es evidente que para tal isomorfismo $u$ e $A\in GL(2n,\mathbb R)$ (que aquí tiene que ser visto como el grupo de bienes lineal isomorphisms de $\mathbb C^n$ a sí mismo, $u\circ A$ se encuentra en el subgrupo si y sólo si $A$ se encuentra en el subgrupo $GL(n,\mathbb C)$. Tomando un local liso sección $\sigma$ el marco de paquete que se puede construir una sección de haber los valores de la suspace en cada fibra a través de $\tilde\sigma(x)(z)=\tfrac12(\sigma(x)(z)-J_x(\sigma(x)(iz))$. Así, hemos definido una reducción de la estructura de grupo.