Se puede construir una que no se pueden medir sin Axioma de elección?

Question

Es axioma de elección necesaria para demostrar la existencia de la no-medibles? Hay un Lebesgue no medible conjunto que puede ser construido sin el axioma de elección?

Una pregunta relacionada con la MO dice es coherente: http://mathoverflow.net/questions/73902/axiom-of-choice-and-non-measurable-set

Answer 1

La respuesta es, no.

Esto es consistente con ZF que los números reales son un contable de la unión de conjuntos contables, esto implica que cada conjunto de los reales es Borel y por lo tanto medibles. Por supuesto, en este tipo de modelos es casi imposible desarrollar el análisis sabemos.

Sin embargo, no es uniforme en relación a un cardinal inaccesible que no es un modelo de ZF+DC donde todos los conjuntos de números reales son Lebesgue medibles, y DC nos permite hacer la mayoría de los análisis clásico.

No medible conjuntos pueden ser generadas por el libre ultrafilters$\mathbb N$, que como se comentó es estrictamente una más débil de la hipótesis de que el axioma de elección. Si hay $\aleph_1$ muchos números reales y DC tiene, es que no se pueden medir y definir así, lo que implica que ZF+DC($\aleph_1$) también implica la existencia de no-medibles conjuntos de números reales - sin embargo esto no es suficiente para deducir la existencia de la libre ultrafilters sobre los números naturales!

Varias otras maneras de generar no medible de los conjuntos de los números reales:

1. El axioma de elección para las familias de los pares;
2. De Hahn-Banach teorema;
3. La existencia de una base de Hamel para$\mathbb R$$\mathbb Q$.

Hay varias otras maneras, pero ninguno de ellos está muy cerca de la plena potencia del axioma de elección.

Una observación importante es que podemos asegurar que el axioma de elección se mantiene para los números reales como de costumbre, pero se rompe en muchos graves formas mucho más en el universo (que es contraejemplos se establece generado mucho más tarde que el de los números reales en la jerarquía de von Neumann). Esto significa que el axioma de elección es severamente negado -, pero los números reales se comportan como los conocemos.

Las anteriores construcciones y para leer más acerca de las formas de construir que no se pueden medir conjuntos cf. Horst Herrlich, el Axioma de Elección, Notas de la Conferencia en Matemáticas v. 1876, Springer-Verlag (2006).