Cómo decidir la convergencia de las integrales

Question

Me ha surgido esta duda al evaluar las integrales:

$$I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln(\sin x)\sin xdx$$ et

$$J=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\csc xdx$$

Ahora bien, aunque el integrando $f(x)=\ln(\sin x)\sin x$ no está definido en $x=0$ que es el límite inferior, sigue teniendo una respuesta finita.

Pero el integrando en $J$ no está definido en $x=0$ y la integral es infinita.

Entonces, ¿cómo identificar sin evaluar explícitamente?

Answer 1

Nótese, sin embargo, que

\begin{eqnarray} \lim_{x\to0^+}\ln(\sin x)\sin x&=&\lim_{x\to0^+}\frac{\ln(\sin x)}{\csc x}\\ &=&\lim_{x\to0^+}\frac{\cot x}{(-\csc x\cot x)}\\ &=&\lim_{x\to0^+}(-\sin x)\\ &=&0 \end{eqnarray}

Este es el gráfico de $y=\ln(\sin x)\sin x$

Answer 2

Para la segunda integral $J$ el integrando pasa a $\infty$ como $x\to 0$ . Más o menos $\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{x}$ . A partir de los ejemplos $\int_0^1 x^{-a} dx$ sabemos que $a=1$ es divergente, aunque al límite. Desde $$ \sin x = x - \frac{1}{3!}x^3 \pm ... $$ tenemos $\sin x \leq x$ para $x>0$ pequeño (por trigonometría elemental, o porque la cola de una serie alterna (edit: convergente) con términos de valor decreciente está dominada por cualquier término anterior). Así pues, $\frac{1}{\sin x} \geq \frac{1}{x}$ y la integral $J$ es divergente.