Ampliación del teorema espectral para operadores delimitados autoinjuntos limitados a operadores normales delimitados

Question

Actualmente estoy preparando para un examen en el análisis funcional, y tengo una pregunta acerca de la extensión del teorema espectral para delimitada auto adjuntos a los operadores acotados normal de los operadores.

El punto de partida es el teorema espectral para delimitada auto adjunto operadores: Deje $T$ ser un almacén de auto adjunto del operador en un espacio de Hilbert $X$, entonces existe un único espectral de medida $E : \Sigma_\mathbb{R} \rightarrow B(X)$, que tiene soporte compacto en $\mathbb{R}$ (Aquí se $\Sigma_\mathbb{R}$ es el Borel-$\sigma$-álgebra en $\mathbb{R}$ e $B(X)$ es el conjunto de todos los delimitada y lineal de operadores en $X$) y $T = \int\limits_{\mathbb{R}}\lambda dE_\lambda$. Además, la asignación de $f \rightarrow f(T) := \int\limits_{\mathbb{R}} f(\lambda) dE_\lambda$, para acotado medible y funciones de $f$, cumpla con las condiciones de la (única) funcional medible cálculo.

Si un operador habitual $T \in B(X)$ es dado, uno puede definir los Operadores: $S_1 := \frac{1}{2} \left( T+T^{\ast} \right)$ e $S_2 := \frac{1}{2i} \left( T-T^{\ast} \right)$. Entonces tenemos que $T = S_1 + i S_2$ y que $S_1$ e $S_2$ son auto-adjunto. Entonces por el teorema espectral para la auto adjunto operadores, existen dos medidas espectrales $E^1$ e $E^2$. Desde $T$ es normal, $S_1$ e $S_2$ viaje, y por lo tanto el espectro de medidas de $E^1$ e $E^2$.

Entonces existe un único espectral de medida $E : \Sigma_{\mathbb{R}^2} \rightarrow B(X)$ tal que para todos los $A, B \in \Sigma_\mathbb{R}$ tenemos que $E(A \times B) = E^1(A)E^2(B)$. (Ver: Schmüdgen - Thm. 4.10)

Mediante la identificación de $\mathbb{R}^2$ con $\mathbb{C}$ se obtiene un único specral medida $E : \Sigma_\mathbb{C} \rightarrow B(X)$ y es capaz de definir las integrales con respecto a este espectral medida en que es la manera natural: en Primer lugar para el paso de las funciones y, a continuación, para acotado medible de las funciones de aproximación.

Ahora tengo que demostrar que $E$ tiene las mismas propiedades que el espectral medida para auto adjuntos a los operadores, es decir: $T = \int\limits_{\mathbb{C}} z dE_z$ y la asignación de $f \rightarrow f(T) := \int\limits_{\mathbb{C}} f(z) dE_z$, para acotado medible y funciones de $f$, cumpla con las condiciones de la (única) funcional medible cálculo.

Mi pregunta ahora es: ¿hay alguna otra manera de mostrar que, además de volver a hacer la prueba del teorema espectral para la auto adjunto operadores? No es que de mucho trabajo, una vez que se tiene la prueba de la auto adjunto caso. Tengo curiosidad si hay una forma más elegante ...

Gracias de antemano, GordonFreeman

Answer 1

La prueba del teorema espectral para el normal de los operadores no se basa en la prueba del teorema espectral para la auto-adjuntos a los operadores, en lugar de las pruebas son básicamente idénticos.

¿Cómo se construye el espectral medida en la auto-adjunto caso? Una manera de hacerlo es mirar el $C^*$-álgebra generada por el mismo-adjoint operador $T$ sobre el espacio de Hilbert $X$, vamos a llamar a $C^*(T)$. Desde $C^*(T)$ es conmutativa, por Gelfand teoría es isomorfo al álgebra de funciones continuas en el espectro de la $T$, $C(\sigma(T))$. Dado $x,y\in H$, el mapa de $C^*(T)\to\mathbb C$ dado por $S\mapsto \langle Sx,y\rangle$ es un delimitada lineal funcional, por lo tanto se define una medida de Borel $\mu_{x,y}$ a $\mathbb R$, apoyado en $\sigma(T)$. El uso de estas medidas, podemos extender el isomorfismo $C(\sigma(T))\to C^*(T)$ a un homomorphism de $B(\mathbb R)\to \mathcal B(X)$ desde el álgebra delimitada Borel funciones en $\mathbb R$ a operadores acotados en $X$. La espectral medida es sólo la restricción de esta homomorphism a funciones características de los conjuntos de Borel.

Ahora si $T$ es normal, $C^*(T)$ todavía es conmutativa, y (de nuevo por Gelfand teoría) es isomorfo a $C(\sigma(T))$, y donde ahora se $\sigma(T)\subset\mathbb C$. Dado $x,y\in X$, la medida de $\mu_{x,y}$ es ahora una medida de Borel en $\mathbb C$ apoyado en $\sigma(T)$, y de esta manera se obtiene un homomorphism $B(\mathbb C)\to\mathcal B(X)$ desde el álgebra de limitada Borel funciones en $\mathbb C$ a $\mathcal B(X)$, y obtener el espectro de medida.

El resto de la prueba del teorema espectral debe ser el mismo.

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EDITAR

Esperemos que esto ayude a traducir mi respuesta al idioma que usted está familiarizado con.

En primer lugar, sí, $C^*(T)$ es como se ha definido.

En segundo lugar, básicamente la única diferencia entre los dos casos es que si $T$ es normal, se define el mapa de $\Phi_0$ de polinomios en dos variables $p=p(z,\overline z)$ a $B(X)$ por $\sum_{ij}a_{ij}z^i\overline z^j\mapsto \sum_{ij}a_{ij}T^i(T^*)^j$ y se extiende por Stone-Weierstrass para un mapa de $\Phi:C(\sigma(T))\to B(X)$. Debemos considerar bivariante polinomios en el caso normal, porque si el conjunto $X\subset\mathbb C$ no es un subconjunto de a$\mathbb R$, los polinomios en una variable no están cerradas en virtud de conjugación, de ahí que la Stone-Weierstrass teorema no se puede aplicar.

En tercer lugar, hay un montón de libros que hay que demostrar el teorema espectral para el normal operadores, dejando el caso de la auto-adjunto operadores como corolario, pero la mayoría de los que estoy familiarizado con desarrollar algunos conceptos básicos de la $C^*$-álgebra teoría para hacer las pruebas más transparente. Véase, por ejemplo, Conway o Rudin del análisis funcional de los libros, o de Murphy $C^*$-álgebras y operador de la teoría.

Answer 2

@Aweygan: Gracias por la rápida respuesta! NS3 tiene que esperar, ya que últimamente tiene algunos problemas relativos a las matemáticas :)

Lamentablemente en mi conferencia realmente no hemos tocado los temas de $C^{\ast}$-álgebras o Gelfand-teoría y sólo demostró el teorema espectral para la auto adjunto operadores. Empezamos por la definición de un mapa de $ \Phi_0 : P(\sigma(T)) \rightarrow B(X)$ por $p(T) := \sum\limits_{i = 0}^{n} a_i T^i$ y luego se amplió este mapa en un mapa de $ \Phi : C(\sigma(T)) \rightarrow B(X)$ por la densidad de los polinomios $P(\sigma(T))$ en $C(\sigma(T))$ debido a la Piedra-teorema de Weierstrass. Luego hicimos el resto de la construcción de la misma manera que se describió mediante la obtención de un complejo de medir por Riesz-represenation teorema.

Estoy asumiendo que el espacio de $C^{\ast}(T)$ de las que están hablando es el conjunto $\left\{ \Phi(f) \Big | f \in C(\sigma(T)) \right\}$ derecho?

Así, mediante el establecimiento $\Phi_0$ la misma manera que lo hicimos para auto adjunto operadores, de nuevo, quisiéramos obtener un compelx medida por el Riesz-represenation teorema. Así que básicamente es la misma prueba para el normal de los operadores?

Yo sólo soy rey esta pregunta, porque cada libro (Werner, Schmüdgen) lo que demuestra el teorema espectral mediante el cálculo funcional (no stieltjes integrales) sólo demuestra que para la auto adjuntos a los operadores y para los normales "se deja para que el lector" ... Supongo que los autores del mencionado libro, no quiero hacer toda la prueba de nuevo y se uso el método que he descrito en el primer post.