¿Cómo podemos probar que existe un camino suave entre cualquier par de puntos en una variedad lisa conectada? Creo que podemos hacer esto localmente mediante gráficos suaves, pero no sé cómo pegar estos caminos para construir una curva suave. Si construimos estas curvas localmente y las parcheamos juntas, tenemos números finitos de singularidades a lo largo de la curva. ¿Cómo puedo suavizar la curva?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
trii
Puntos
16
Sólo reajuste de parámetros de las curvas antes de la concatenación!
Tomar una función suave $\rho:[0,1]\to[0,1]$ con $\rho(0)=0$ e $\rho(1)=1$ tal que todos los derivados en $0$ e $1$ se desvanecen. Para la construcción de una $\rho$ ver aquí. Para una curva suave $\gamma :[0,1]\to M$ definir $\tilde\gamma =\gamma\circ \rho$. Si $\gamma_1$, $\gamma_2:[0,1]\to M$ son dos curvas suaves con $\gamma_1(1)=\gamma_2(0)$ definir
$$\gamma_2*\gamma_1(t) = \begin{cases} \tilde\gamma_1(2t), & t\in[0,\frac 1 2] \\ \tilde\gamma_2(2t-1), & t\in[\frac 1 2,1] \\ \end{casos}$$
A continuación, $\gamma_2*\gamma_1$ es suave, ya que en el punto crítico de todos los derivados de la izquierda y de la derecha de acuerdo como lo son todos los $0$ por la regla de la cadena (ver también esta fórmula).
Ahora bien, si usted no lo sabe ya que aquí es muy útil truco:
Supongamos $P$ es una propiedad que indica la conexión de un espacio topológico $X$ puede o no puede tener. Definir
$$A=\{x\in X: x\,\text{has property}\, P\}\,\,\,\,B=\{x\in X: x\,\text{does not have property}\, P\}\,$$
Si $A$ e $B$ están abiertos y $A$ es no vacío, entonces todos los puntos en $X$ tienen la propiedad $P$.
En su caso, fijar un punto de $p\in M$ y para los puntos de $q\in M$ definir $P$ a ser la propiedad de que existe una curva suave de unirse a $p$ e $q$.
A continuación, $A$ está abierto desde el si $q\in A$ todos los puntos en un convexo euclidiana barrio de $q$ puede ser fácilmente se unió a dos $q$ y así, con la por encima de la concatenación de proceso de cada punto en este barrio puede ser fácilmente se unió a $p$. Por la misma razón, $B$ está abierto desde el si $q\in B$ entonces cada punto en un convexo euclidiana barrio de $q$ no puede ser fácilmente se unió a $p$ ya que los demás también se $q$ podría ser sin problemas unió a $p$. Ahora con el truco por encima de todos los puntos pueden ser fácilmente unió a $p$.
