La singularidad de la continuación de lo funcional.

Question

Tengo una funcional lineal continua $f_0 \in c_0^*$ donde

$$c_0 = \lbrace{x: (x_1, \dots, x_n, \dots)|\lim_{n\rightarrow\infty}x_n = 0\rbrace} \subset m = \lbrace{x: (x_1, \dots, x_n, \dots)|\sup_{n\in\mathbb{N}}|x_n| < \infty\rbrace}$$

Mi pregunta:

Demostrar que $f_0$ tiene una singularidad continuación $f$ espacio $m$ con el respeto de la norma, i.e $$\forall x \in c_0,\ f(x) = f_0(x)\quad \text{and}\quad ||f_0|| = ||f||.$$

El de Hahn-Banach teorema garantiza la existencia de una continuación, pero no su singularidad. Traté de averiguar algunas de las propiedades del espacio conjugado de a $c_0$. He demostrado que los $c_0^* \cong l^1$. Después de haber demostrado esto, vi cómo funcionales en $c_0$ parece. Luego me demostró que $(l^1)^* \cong m$ y vio cómo funcionales en $l^1$ parece. Esto es bueno, porque en estos espacios no puedo usar el teorema de Riesz, pero, como he dicho, en el proceso de la prueba que obtiene la forma general de funcionales en estos espacios.

Pero además, no sé qué hacer. Cómo utilizar esta información? O tal vez hay algunas difíciles lemas o teoremas que dan información acerca de la singularidad de la continuación?

Podría usted decirme qué hacer a continuación? Gracias de antemano!

Answer 1

$f_0$ puede ser escrito como $x\mapsto \sum a_nx_n$ para $x\in c_0.$ podemos definir una extensión de $f\in m^*$ por $f(x)=\sum a_nx_n$ para $x\in m.$

Considere la posibilidad de una $g\in m^*$ tal que $g(x)=f(x)=f_0(x)$ para $x\in c_0.$ Supongamos $g(x)>f(x)$ para algunos $x\in m$ con $\|x\|_\infty=1.$ Definir secuencias de $y^n\in m$ por $y^n_t=x_t$ para $t>n$ e $y^n_t=\mathrm{sgn}(a_t)$ para $t\leq n.$ Entonces $\|y^n\|=1$ y $f(y^n)\to \sum |a_n|=\|f\|.$ Pero $x-y^n\in c_0,$ lo $g(y^n)=f(y^n)+g(x)-f(x)\to \|f\|+g(x)-f(x)>\|f\|.$ Si $\|g\|=\|f\|$ entonces $g(x)\leq f(x)$ para todos los $x\in m$; aplicando esto a $-x$ así da $g(x)=f(x).$

---

Es posible utilizar la representación de Riesz teorema. Delimitadas las funciones en $\mathbb N$ extender a funciones continuas sobre la Piedra–Čech compactification $\beta\mathbb N.$ podemos dividir cualquier medida en $\beta \mathbb N$ en una medida en el subconjunto $\mathbb N$ y una medida en el cerrado subconjunto $\beta\mathbb N\setminus N.$ Nos puede formalizar de la siguiente manera.

Para un localmente compacto espacio topológico $X,$ deje $C(X)$ denotar el espacio de Banach de funciones continuas en $X$ con sup norma, y deje $C_0(X)\subseteq C(X)$ denota el subespacio de las funciones de $f$ de fuga en el infinito: $\{x\in X:|f(x)|\geq \epsilon\}$ es compacto para cada una de las $\epsilon>0.$ Deje $\mathrm{Meas}(X)$ denotar el espacio de Banach de finito regular medidas de Borel en $X,$ , con un total de variación de la norma. El "Riesz-teorema de Markov", dice

$$C_0(X)^*\cong \mathrm{Meas}(X)$$

Así $$c_0^*\cong C_0(\mathbb N)\cong \mathrm{Meas}(\mathbb N)$$ $$m^*\cong C(\mathbb N)\cong C(\beta\mathbb N)\cong C_0(\beta\mathbb N)\cong \mathrm{Meas}(\beta\mathbb N)$$

Una medida $\mu\in\mathrm{Meas}(X)$ está especificado por una función de $\mathcal B(X)\to\mathbb R$ donde $\mathcal B(X)$ es el conjunto de los conjuntos de Borel en $X.$ Da $\mu\in\mathrm{Meas}(\beta\mathbb N),$ restringiendo el dominio de a $\mathcal B(\mathbb N)$ da una medida $\mu'$ a $\mathbb N.$ Asimismo, restringiendo el dominio de a $\mathcal B(\beta\mathbb N\setminus\mathbb N)$ da una medida $\mu''$ a $\beta\mathbb N\setminus \mathbb N.$ E $\mu$ puede ser recuperado a partir de estas restricciones: $\mu(B)=\mu'(B\cap\mathbb N)+\mu''(B\setminus\mathbb N).$ creo que es fácil demostrar que estas medidas son regulares si $\mu$ es. De esta manera conseguimos un isomorfismo

$$\mathrm{Meas}(\beta\mathbb N)\cong \mathrm{Meas}(\mathbb N)\oplus_1\mathrm{Meas}(\beta\mathbb N\setminus \mathbb N)$$

donde $\oplus_1$ denota $\ell_1$ suma directa de los espacios de Banach. La combinación de estos isomorphisms da $$m^*\cong c_0^*\oplus_1\mathrm{Meas}(\beta\mathbb N\setminus \mathbb N)$$

El primer componente $m^*\to c_0^*$ de este isomorfismo es el mismo que el de costumbre mapa (dado por precomposición por la inclusión $c_0\to m$). Por lo $f\in m^*$ es una extensión de $f_0\in c_0^*$ si y sólo si $f$ obtiene asignada a $(f_0,\nu)$ bajo este isomorfismo, para algunos $\nu.$ Nota $\|f\|=\|(f_0,\nu)\|=\|f_0\|+\|\nu\|.$ Lo $\|f\|=\|f_0\|$ si y sólo si $\|\nu\|=0.$ Esto significa que no hay una única extensión de $f$ de $f_0$ con $\|f\|=\|f_0\|.$