¿Puedo usar el teorema de Seifert-van Kampen infinitas veces?

Question

Conozco la definición del teorema de Seifert-van Kampen para un espacio topológico "hecho" con 2 partes. No es difícil ver que si utilizo el teorema un número finito de veces para calcular el grupo fundamental de un espacio topológico hecho de muchas partes finitas, es válido. Pero, ¿puedo usar el teorema de los tiempos infinitos? Por ejemplo, ¿mostrar que el grupo fundamental de una superficie orientable de género infinito es isomorfo al grupo libre con generadores infinitos?

Gracias.

Answer 1

Si tenemos un infinito cubierta de un espacio de $X$, uno de los enfoques para calcular $\pi_1$ finito de los sindicatos de las cubiertas, por lo tanto reducir el problema al caso de un aumento de la unión a$U_1 \subseteq U_2 \subseteq \cdots \subseteq X = \bigcup_{i=1}^\infty U_i$. Esto es manejado a través de una directa límite de los grupos fundamentales de la open ajusta $U_i$.

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Dado un espacio de $X$ que es un aumento de la unión de abrir conjuntos de $U_1 \subseteq U_2 \subseteq \ldots$, con un determinado punto de base $\ast \in U_1$, tenemos un diagrama de $$\requieren{AMScd} \begin{CD} \pi_1(U_1,\ast) @> >> \pi_1(U_2,\ast) @>>> \ldots \\ @VVV @VVV \\ \pi_1(X, \ast) @= \pi_1(X,\ast) @= \ldots \end{CD}$$ lo que da un mapa de la directa límite de $$\Phi: \varinjlim \pi_1(U_i, \ast) \to \pi_1(X,\ast).$$

Reclamo: $\Phi: \varinjlim \pi_1(U_i, \ast) \to \pi_1(X,\ast)$ es un isomorfismo.

Prueba: A ver que $\Phi$ es surjective, se observa que la si $\gamma: (S^1, \ast) \to (X,\ast)$ es una base de bucle, a continuación, $\gamma(S^1) \subseteq \cup_{i=1}^\infty U_i$ es compacto, por lo que su imagen se encuentra en un número finito de subcover de $\{U_i\}_{i=1}^\infty$ y, por tanto, en $U_i$ para algunos $i$.

En las sabias palabras de uno de mis topología de los profesores, "de inyectividad es sólo surjectivity, una dimensión superior." Si $[\gamma_1]$ e $[\gamma_2]$ son homotopy clases en directo el límite (base) homotópica en $X$ través $H: S^1 \times I \to X$, entonces la imagen de a$H$ (por el mismo argumento) contenida en $U_j$ para algunos $j$, el cual asegura que $[\gamma_1] = [\gamma_2]$ en $\pi_1(U_k,\ast)$ para $k \geq j$. Esta muestra de inyectividad.

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Mientras directa límite de un sistema de grupos puede ser intimidante, nos permite calcular. Por ejemplo, si $F_n$ es el grupo de generadores $\{x_1,x_2,\ldots, x_n\}$, con mapas de $F_n \to F_{n+1}$ dado mediante la inclusión de los generadores $\{x_1,x_2,\ldots, x_n\} \subseteq \{x_1,x_2,\ldots, x_{n+1}\}$, luego $$ \varinjlim F_n = F_\infty,$$ donde $F_\infty$ es el grupo en infinidad de generadores $\{x_1, x_2,\ldots\}$.

Answer 2

Como Josué Mundinger tiene muy bien explicados, puede "recorrer" el Seifert-van Kampen teorema infinitamente muchas veces tomando directa límite, usando el hecho de que $\pi_1$ conserva directa límites de abrir las inclusiones. Sin embargo, también hay una forma más directa el uso de Seifert-van Kampen infinito abra las cubiertas: hay una versión del teorema que se aplica a las cubiertas por un número arbitrario de bloques abiertos, en lugar de sólo dos bloques abiertos.

He aquí una versión de la declaración (este es el Teorema 1.20 en Hatcher Topología Algebraica, por ejemplo). Supongamos $(X,*)$ es la punta de su espacio y $(U_i)_{i\in I}$ es una cubierta abierta de a$X$ tal que $*\in U_i$ para todos los $i$. Supongamos, asimismo, que los $U_i$, $U_i\cap U_j$, e $U_i\cap U_j\cap U_k$ están trayectoria-conectado para todas las $i,j,k\in I$. A continuación, $\pi_1(X,*)$ es isomorfo (a través de la obvia mapa) para el cociente del producto libre de grupos de $\pi_1(U_i,*)$ por las relaciones que decir que los dos mapas de $\pi_1(U_i\cap U_j,*)\to \pi_1(U_i,*)$ e $\pi_1(U_i\cap U_j,*)\to\pi_1(U_j,*)$ a ser igual.

Tenga en cuenta que esto es útil no sólo para el infinito cubre, pero también para finitos cubre por más de dos conjuntos, que permite calcular el resultado final de todos a la vez en lugar de tener que recorrer.

Answer 3

¿Qué significa para aplicar el teorema de la infinidad de veces? Que tendría que haber algún tipo de proceso inductivo - y usted tiene que ser muy cuidadoso acerca de los tipos de infinitos salir de eso.

En este caso, la adición de un agujero en un tiempo, obtenemos como subgrupos de una cadena de libre grupos en un número creciente de generadores, pero dado que todavía hay infinitamente muchos agujeros en cualquier etapa del proceso, no será otro factor que simplemente no podemos limpiamente medir de esta manera.

Ahora, podemos tomar la directa límite de esas subgrupos hemos encontrado para decir que hay un infinito gratis de grupo que un subgrupo del grupo fundamental. No podemos decir más, sin herramientas adicionales.