¿Por qué no podemos diferenciar ambos lados de una ecuación polinómica?

Question

Supongamos que tenemos la ecuación de abajo y vamos a diferenciarla por ambos lados: \begin{align} &2x^2-x=1\\ &4x-1=0\\ &4=0 \end{align}

Este problema no parece ocurrir con otras ecuaciones como $\ln x =1$ o $\sin x = 0$ podemos seguir diferenciando estos dos sin llegar a " $4=0$ ", por ejemplo. Por eso he preguntado por los polinomios.

PD: No estoy tratando de resolver ninguna de estas ecuaciones diferenciando entonces. Pero la diferenciación o la integración ayuda y resolver ecuaciones?

Recuerdo que a veces para resolver ecuaciones de trigonometría como $\sin x = \cos x$ tuvimos que cuadrar ambos lados para poder usar la identidad $\sin^2x + \cos^2x =1$ . Incluso la cuadratura del pensamiento parece empeorarla porque tenemos una nueva raíz.

Answer 1

Es importante recordar que sólo podemos diferenciar funciones. Cuando se escribe la expresión $$ 2x^2-x=1 $$ ya no se trata de una función. En su lugar, esta expresión describe sólo las soluciones $x$ a una ecuación dada. Por ejemplo, $$ f(x) = 2x-x^2 $$ es una función, pero $2x-x^2 = 0$ no lo es.

Answer 2

Cuando dos funciones se cruzan, no tienen por qué tener las mismas pendientes. Por ejemplo, $y=x^2, y=x$ .

Answer 3

El problema es que nuestro dominio de la verdad no es lo suficientemente grande como para permitirlo.

De su ejemplo, las funciones de ambos lados sólo coinciden en $\left\{-\frac12,1\right\}$ Sin embargo, ¡no podemos diferenciar funciones en puntos aislados de sus dominios!

Por otro lado, considere la ecuación $$\sin x=\cos x\tan x.$$ Las funciones aquí coinciden en todos los puntos en los que está definida la función del lado derecho, es decir, todos los puntos excepto los múltiplos enteros de impar $\frac\pi2.$ Por lo tanto, podemos diferenciar en todos esos puntos, para obtener $$\cos x=-\sin x\tan x+\cos x\sec^2 x,$$ que se puede comprobar que es verdadera para todos esos puntos.

Answer 4

En general, si dos funciones $f$ y $g$ estar de acuerdo en el punto $a$ no tienen por qué tener la misma derivada allí, es decir $f(a)=g(a)$ no implica $f'(a)=g'(a)$ . Esto se ve fácilmente si se toma $f(x)=x$ y $g$ para ser la función constante en $1$ . Entonces, por ejemplo $f(1)=g(1)$ pero $1=f'(1)\neq g'(1)=0$ .

No debería sorprendernos ya que para calcular la derivada de una función $f$ en un punto $a$ necesitamos saber cómo $f$ se comporta en un barrio $(a-h, a+h)$ para algunos $h>0$ de ese punto. Conocer el valor del punto no es suficiente. Hay muchas formas de dibujar una curva diferenciable que pase por un punto.

En el caso de que las dos funciones se pongan de acuerdo en una vecindad, entonces sí se produce la afirmación deseada.

Answer 5

La diferenciación no es una operación algebraica como la cuadratura o la suma. Lo mismo ocurre con la integración.

Usted mismo encontró un contraejemplo: si pudiera resolver $2x^2-2x=1$ con dif. entonces habrías conseguido $x=-1/2,1$ no (la afirmación contradictoria) $4=0$ .