¿Mis resultados son nuevos?

Question

Estoy de dieciocho años y a veces me gusta hacer matemáticas en mi propia cuando estoy inspirado. Me gustaría saber si algunos de mis "descubrimientos" son nuevos (no lo creo :) ). Estos son algunos de los resultados que se encuentran en los últimos 3 años:

Infinito radical de la convergencia a la pi $$\pi= \lim_{x\to\infty} 2^x\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}} \tag{1}$$ Donde en el radical hay $x$ números de $2$

El determinante de una matriz para la interpolación de polinomios

Deje $p(x)=[a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0]$ ser un polinomio que pasa a través de $n+1$ puntos $P_i(x_i,y_i)$ . Este polinomio está intrínsecamente conectada con la matriz: $$\begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & ... & x_1^{n-1} & x_1^{n} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & ... & x_2^{n-1} & x_2^{n} \\ . & & . & & . & \\ . & & & . & . & \\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & ... & x_{n-1}^{n-1} & x_{n-1}^{n} \\ 1 & x_n & x_n^2 & ... & x_n^{n-1} & x_n^{n} \\ \end{bmatrix} \etiqueta{2}$$

Además: $$det\begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & ... & x_1^{n-1} & x_1^{n} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & ... & x_2^{n-1} & x_2^{n} \\ . & & . & & . & \\ . & & & . & . & \\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^2 & ... & x_{n-1}^{n-1} & x_{n-1}^{n} \\ 1 & x_n & x_n^2 & ... & x_n^{n-1} & x_n^{n} \\ \end{bmatrix}=\prod _{k>j} (x_k-x_j) \etiqueta{3}$$

Los límites de la suma de los factores primos

Deje $\ \Pi(x)\ $ ser la función que da en la salida de la suma de los factores primos de a$x$ por ejemplo $\ \Pi(8)=6,\ $luego: $$\log_3(x^3)\leq \Pi(x) \leq x \tag{4}$$

Una fórmula alternativa para el divisor de la función

$\sigma_0(x)$ se define como la función que da en la salida el número de divisores de a$x$, entonces: $$\sigma_0(x)=\sum_{i=1}^x \log_x\left ( i^{\left \lfloor \frac{x}{i} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{x-1}{i} \right \rfloor}\frac{\left \lfloor \frac{x}{i} \right \rfloor!}{\left \lfloor \frac{x-1}{i} \right \rfloor!} \right ) \tag{5}$$

Conjetura acerca de la n-nacci período

Deje $\ T(n)\ $ ser la función de la da en la salida de la $n$-nacci período, es decir, la periodicidad de el dígito de las unidades en un $n$-nacci secuencia con todas las de la partida términos que son iguales a $1$ ($T(2)=60$ es la clásica secuencia de Fibonacci). Entonces mi conjetura es que:

$$T(2n+1)=\frac{5^{2n+1}-1}{4} \tag{6}$$

Claramente, $n$ es un entero. Casi se me olvidaba $2n+1$ no debe terminar con dígitos $1$ (en ese caso el problema es trivial).

Espero que usted me puede decir si esto resultados son triviales o no y si finalmente son equivocadas. Gracias por el tiempo :) .

Answer 1

Sobre el determinante:

Dicha matriz se dice que es de la Vandermonde forma.

Su determinante es, obviamente, un polinomio en la $x_i$. Se debe cancelar cuando dos $x_i$ son iguales (hacer dos hileras iguales), por lo que debe ser un múltiplo de todos los $(x_i-x_j)$. Hay $\dfrac{n(n+1)}2$ de esos factores. Por otro lado, el grado del polinomio debe ser la suma de los grados a lo largo de una fila, es decir, el $n^{th}$ triangular número, $\dfrac{n(n+1)}2$. Esto es suficiente para decir que

$$\det M=m\prod_{i<j}(x_i-x_j)$$ for some nonzero constant $m$.

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Sobre el infinito radical:

Usted debe tener cuidado acerca de esta notación, porque no dicen lo que es "el final de los puntos". Usted puede expresar el anidado de radicales libres como la recurrencia

$$r_{n+1}=\sqrt{r_n+2},$$ but some $r_0$ must be specified. If you take $r_0=2$, then for all $n$, $r_n=2$ and… $\pi=0$ !

Usted probablemente obtuvo su fórmula del perímetro del círculo, por las sucesivas duplicaciones de el número de lados, utilizando el ángulo de reducir a la mitad la fórmula

$$2\cos\frac x2=\sqrt{2\cos x + 2}$$ and $x=\dfrac\pi{2^m}$ for some $m$. Then starting from $m=1$, $r_0=0$, and your estimates of $\pi$ son

$$2^n\sin\frac\pi{2^n}.$$

Felicidades, se reincorporó a Arquímedes resultados !