Cómo generalizar el teorema de selección

Question

Estoy interesado en el Teorema de Pick.

Pick Teorema Suponga $P$ es un convexo de celosía punto polígono. Si $B$ es el número de vértices de $P$ $I$ es el número de celosía de puntos que, en el interior de $P$. Entonces el área de $P$$I+\frac{B}{2}-1$.

Me parece que este teorema en una revista. Se ofrece una prueba basada en el Teorema de Minkowski. En primer lugar, creo que el método puede ser muy difícil, y yo podría encontrar una fácil. Pero yo no. Así que quiero preguntar, ¿hay alguna otra prueba aquí?

Además, este problema puede no ser tan fácil como parece. Creo que puede estar relacionado con el número de Euler de la gráfica, porque Pick Teorema es similar a las dos dimensiones de la superficie de la versión de Euler carácter. Así que no es otra pregunta ¿cuál es la relación entre la Recogida Teorema de Euler carácter.

Además, hay un enfoque para convertirlo en una dimensión superior? Tengo idea de porque si usted se imagina un convexo de celosía punto de poliedro, usted encontrará que su área no es un número racional como la versión anterior. Así que tal vez deberíamos generalizar de otra forma.

Answer 1

Publiqué un artículo sobre la generalización del teorema de Pick en los Avances en Matemáticas en el año 1993, (Pick y Teorema de la Todd de la Clase de un Tóricas de la Variedad). No, yo interpreto $I + B/2 + 1$ a ser la suma de los ángulos subtendido por un polígono $P$ en todo el entramado de puntos. En otras palabras, tomar un pequeño círculo alrededor de un entramado punto de $v$. Deje $\angle_P(v)$ ser la fracción del círculo que está dentro de $P$. Si $v$ es interior, $\angle_P(v) = 1$. Si $v$ es interior a un borde de $P$, $\angle_P(v) = 1/2$. La suma de los ángulos en los vértices de $P$ $(n - 2)/2$ donde $n$ es el número de vértices. Estas se resumen a $\sum_{v\in Z^2} \angle_P(v) = I + B/2 + 1$.

Que papel tiene lo que yo considero un muy fácil la prueba del teorema de Pick que no dependen de la triangulación de un polígono. Tomar un entramado polígono $P$ y deje $1_P(x)$ ser su función característica: $1_P(x) = 1$ si $x\in P$ $1_P(x) = 0$ lo contrario. Traducir $1_P$ por todos los elementos de a $Z^2$ y sumarlos: $T_P(x) = \sum_{v\in Z^2} 1_P(x - v)$. A continuación, vamos a $\tilde{P}$ ser la rotación de $P$ 180 grados. Entonces, es fácil ver que $T_P(x) + T_{\tilde{P}}(x)$ es una función constante, aparte de un conjunto de medida de 0, con el valor de la constante $2 \text{Area}(P)$. Por otro lado, también se puede ver fácilmente el valor de la constante es $2 \sum_{v\in Z^2} \angle_P(v)$.

Tan lejos como la generalización, $\angle_P(v)$ sigue teniendo sentido en dimensiones superiores. Sin embargo, $\sum_{v\in Z^d} \angle_P(v)$ no suele igual $\text{vol}(P)$ $d$ dimensiones polytope $P$. La clave es reemplazar $\angle_P(v)$ por las nuevas medidas de los ángulos que hacen el trabajo en la fórmula. Una forma de hacer esto basado en las funciones racionales es dada en el papel. En un trabajo posterior, otra forma de hacerlo es encontrar el uso de una generalización de la de Riemann Zeta función.