Esta respuesta es un pequeño intento de abordar su tercera pregunta. Usted puede encontrar el artículo,
Jetro van Ekeren, Los seis vértices del modelo, RR-matrices, y los grupos cuánticos,
para ser útil.
Una de las principales fuentes en el desarrollo de los grupos cuánticos fue el campo de exactamente solucionable modelos en mecánica estadística. Una serie de sencillos modelos matemáticos han concebido al mismo tiempo como la mecánica cuántica estaba siendo desarrollado con el fin de entender las transiciones de fase (cambios de estado) que se producen en ciertos materiales magnéticos como el hierro, y que también puede ser usado para entender las propiedades de más familiar de los cambios de estado como el líquido-gas de transición. Uno de estos modelos fue el modelo de Ising, que es un clásico (no cuántica) del modelo. Modelos similares que llegó mucho más tarde fueron los seis vértices y ocho vértices de los modelos. En la mecánica cuántica lado, estaba el de Heisenberg giro de la cadena, entre otros.
Lo notable de estos modelos es que, al menos para ciertos valores de sus parámetros, es posible calcular ciertos físicamente cantidades interesantes, tales como la energía libre, exactamente en el límite de lo infinito tamaño del sistema (el límite termodinámico). En física, las simetrías de un sistema se asocia con las leyes de conservación. Lo que hace que estos sistemas particulares exactamente solucionable, es que, en el límite termodinámico, tienen un infinito-dimensional grupo de simetrías, y por lo tanto infinitamente muchas leyes de conservación. (Sin estas leyes de conservación, el cálculo de la energía libre se vuelven cada vez más intratable como el tamaño del sistema aumenta.) Estas dimensiones infinitas simetría grupos son matemáticamente interesante. En 1944 Lars modelo de onsager calcula la energía libre de las dos dimensiones del modelo de Ising con el campo magnético externo conjunto de parámetros igual a 00 mediante la introducción de un determinado infinito-dimensional de álgebra que más tarde fue descubierto para ser conectado a Kac–Moody álgebras.
Modelo de onsager la solución fue considerado por los físicos a ser difícil, y un número de métodos de solución alternativa fueron descubiertos en las décadas siguientes. Uno de ellos—el método de los desplazamientos de transferencia de las matrices fue particularmente fructífera en términos de generalizaciones. El modelo de Ising se define en una red de dos dimensiones de la plaza de red en el modelo de onsager. (Esta es la intención como un modelo simplificado de la red cristalina de la real metales.) Hay un binario (dos valores) variable ("spin") asociados con cada celosía sitio, y los giros de la experiencia de las interacciones con sus vecinos más cercanos. La matriz de transferencia es un operador que corresponde a la adición de una fila de sitios de la red. En el modelo de Ising, seis vértices del modelo, y otros exactamente solucionable modelos de dos dimensiones, la clave de la solvencia es que la transferencia de las matrices con diferentes valores de un determinado parámetro conmuta con cada uno de los otros. La mecánica cuántica de los modelos mencionados anteriormente, como la de Heisenberg giro de la cadena, son uno de los modelos tridimensionales con Hamiltonianos (operador de energía) dada por una matriz en la misma desplazamientos de la familia. Los miembros de esta desplazamientos de la familia puede ser pensado como física de los operadores, que representan cantidades conservadas de la tirada de la cadena (ya que conmuta con el Hamiltoniano, estas cantidades no cambie con el tiempo).
Rodney Baxter descubierto que la conmutatividad de las matrices de transferencia está implícita en lo que ahora es conocido como el Yang–Baxter ecuación, lo que implica un operador de la RR-matriz. El RR-matriz puede ser considerado como el pilar fundamental de que la transferencia de las matrices se construyen, correspondiente a las interacciones de un único entramado sitio con sus vecinos. El Yang–Baxter ecuación que relaciona dos diferentes maneras en que los tres sitios se puede interactuar. Tiene una representación gráfica estrechamente conectado con el nudo de la teoría.
Los grupos cuánticos surgen como estructuras algebraicas en la que RR-matrices de satisfacer el Yang–Baxter ecuación surgen de forma natural. Estas soluciones para el Yang–Baxter ecuación dar lugar a las nuevas familias de los desplazamientos de transferencia de matrices, y por lo tanto de nuevo exactamente solucionable modelos que describen los nuevos tipos de transiciones de fase.
Hay conexiones entre estos modelos y otras partes de la física. Estas exactamente solucionable modelos tienen puntos críticos, en los que la física sistema muestra un formulario de invariancia de escala. Escala de invariancia en realidad implica el más fuerte invariancia conforme, y estos modelos en sus puntos críticos han continuo de los límites de llamada de conformación del campo de las teorías. Estos son un ingrediente clave en la teoría de cuerdas, y juegan un papel importante en muchos de los interesantes desarrollos matemáticos (por ejemplo, en la prueba de la luz de la Luna conjeturas).
