Pruebas $\sin (x)=\cos (90^\circ-x)$

Question

Estoy interesado en las diferentes formas de demostrar esto, cualquier prueba es bienvenida. Tengo entendido que una forma es la fórmula de la suma/diferencia del coseno, otra es utilizando un triángulo rectángulo. ¿Hay alguna otra? Gracias.

Answer 1

Algunas pruebas utilizando la identidad de Euler: $$e^{it} = \cos(t)+i\sin(t)$$

Tenga en cuenta que $sin(t) = \Im (e^{it})$ et $\cos(\frac \pi 2 -x) = \Re (e^{i(\frac \pi 2 -t)})$ . Echemos un vistazo a $$sin(t)-i\cos(t)=-ie^{it} = e^{i\frac{-\pi}2}e^{it} = e^{i(t-\frac \pi 2)} = \cos(t-\frac \pi 2)+i \sin(t-\frac \pi 2)$$ Comparando las partes real e imaginaria obtenemos $$\sin(t) = \cos(t-\frac \pi 2) = \cos(\frac \pi 2-t)$$ como $$\cos(x) = \cos(-x) ~~x\in \mathbb R$$

Answer 2

Depende de qué definiciones de seno y coseno con los que prefieras trabajar.

Si utiliza la definición de círculo unitario

$(\cos \theta,\sin \theta)$ son las coordenadas del punto del círculo unitario al que se llega recorriendo una distancia de $\theta$ en el sentido contrario a las agujas del reloj a lo largo del círculo unitario desde su intersección con el positivo $x$ eje.

entonces la propiedad que desea es casi inmediata. Sustitución del ángulo $\theta$ por $90^\circ-\theta$ equivale a reflejar el punto de la línea $x=y$ que es lo mismo que intercambiar los ejes, de modo que el coseno se convierte en seno y viceversa.

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Como ejemplo de una demostración con un sabor bastante diferente, supongamos que hemos definido el seno y el coseno mediante series de potencias. (Como estás trabajando en grados, es muy poco probable que eso sea lo que usted así que si esta parte de la respuesta no tiene sentido para ti, puedes ignorarla). Entonces sería más natural proceder de la siguiente manera:

1. La derivada de $\sin$ es $\cos$ y la derivada de $\cos$ es $-\sin$ .

   (Esto puede demostrarse mediante la diferenciación término a término de la serie de potencias).

2. Las funciones $x \mapsto \cos x$ et $x \mapsto \sin(\pi/2 - x)$ ambas satisfacen la ecuación diferencial ordinaria $y''=-y$ .

   (Fácilmente verificable por cálculo dado el punto anterior).

3. Ambos satisfacen $f(0)=1$ et $f'(0)=0$ .

   (Aquí necesitamos saber que el seno y el coseno de $\pi/2$ que, de nuevo, depende de nuestra definición de $\pi$ . No es infrecuente defina $\pi$ por el hecho de que $\cos(\pi/2)=0$ y la "fórmula idiota" da como resultado $\sin(\pi/2)=\pm 1$ pero debe ser positivo porque $\sin'(0)>0$ y el signo de $\sin$ no puede haber cambiado antes de el primer cero de $\cos$ que por definición es $\pi/2$ ).

4. Por lo tanto, por la Teorema de Picard-Lindelöf son la misma función.

Answer 3

Aquí tienes una bonita foto:

Gracias a $w|\alpha$

Answer 4

La primera y más fácil:

abrir el soporte de $\cos (90-x)$ utilizando $\cos (a+b)$ se obtiene $\sin x$ ;

Segundos gráficos de referencia

Tercero (:P )

Podemos visualizar lo mismo mediante la rotación de un número complejo en el plano complejo. Multiplicamos cualquier $Z$ con $e^{i\pi/2}$ y obtenemos el mismo nº de complejo solo que en otro cuadrante . Implica $\cos (90-x)=\sin x$

Answer 5

Tomemos un triángulo rectángulo $ABC$ con ángulo $B=90,A=x$ Esto implica un ángulo $C=90-x$ .

$\sin x=BC/AC$

Del mismo modo $\cos (C)=\cos (90-x)=BC/AC$

Utilizando el hecho de que $\sin $ et $\cos $ son altura/hipotenusa y base/hipotenusa respectivamente.