tipos de distancias entre puntos

Question

Acabo de terminar de trabajar en un proyecto en el que teníamos que asignar instalaciones en un $2$ -con el fin de satisfacer ciertas restricciones de la demanda manteniendo el coste al mínimo. NO soy licenciado en matemáticas, así que pido disculpas si mi pregunta puede parecer un poco tonta e inculta. Trabajamos con coordenadas cartesianas y una función de distancia $$d:\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$$ con la distancia entre $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$ dada por $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ . En la tarea se indicaba específicamente que utilizáramos la distancia euclidiana, por lo que empecé a preguntarme: ¿qué otros tipos de medidas de distancias podríamos utilizar, es decir, como la desviación absoluta? Esto me lleva a mi pregunta:

¿Qué otras medidas de distancia primarias existen y cuáles son sus posibles aplicaciones?

Tengo curiosidad por ver qué me pueden traer.

Answer 1

El término que busca es métrico . De la wiki : Una función métrica o de distancia es una función que define una distancia entre cada par de elementos de un conjunto.

Un ejemplo divertido es el llamado " taxímetro o $L^1$ donde la función de distancia (o métrica) viene dada por

$$d(\mathbf{x,y})=\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|,$$ donde $\bf{x,y}$ son $n$ -vectores dimensionales. $L^2$ es la métrica euclidiana habitual ( aquí es un enlace en $L^p$ ) y hay muchos otros. PBS Infinite Series realizó recientemente un bonito vídeo sobre el tema.

Answer 2

Existe un conjunto de posibles medidas de distancia relacionadas (que algunos llaman "métricas") de la forma

$$d(a,b) = \left( |(a_x-b_x)|^\ell + (a_y-b_y)|^\ell \right)^\frac1{\ell}$$

La distancia entre un punto y el origen en una métrica de este tipo suele denominarse " $\ell$ -y cuando $\ell = 2$ se obtiene la métrica euclidiana, mientras que como $\ell$ va al infinito, se obtiene una métrica que es la mayor de las $x$ o $y$ separaciones.

En $\ell = 1$ se obtiene la suma de $|(a_x-b_x)| + |(a_y-b_y)|$ , a veces llamada "métrica de Manhatan" porque es la distancia que tendría que recorrer un taxi en calles ortogonales.

Pero también hay muchas otras métricas. Una propiedad que todas ellas comparten es la identidad triangular:

$$d(a,b) + d(b,c) \geq d(a,c)$$