Base especial de un ideal como$\mathbb{Z}$ - módulo en campos numéricos

Question

Estaba especulando que lo siguiente puede ser cierto (pero no veo una manera fácil de resolverlo; debe ser conocido, supongo):

Dado un ideal (por ejemplo, primo)$\mathfrak{p}$ del anillo de enteros$\mathcal{O}_K$ de un campo numérico$K$ de grado$d$, ¿existe siempre una base$a_1, ..., a_d$? % de$\mathcal{O}_K$ como$\mathbb{Z}$ - módulo y elementos$x_1, ..., x_d \in \mathcal{O}_K$ de tal manera que$x_1a_1, ..., x_da_d$ fue una base para$\mathfrak{p}$ como$\mathbb{Z}$ - módulo?

Le agradecería si pudiera proporcionar una solución o una referencia.

Answer 1

Sí. Estás en lo correcto.

De ello se deduce a partir de la estructura teorema en el subgrupo de un finitely libres generados por el grupo abelian, de hecho, podemos encontrar una base $e_1,\ldots,e_d$ $\mathfrak{O}_k$ y enteros $n_1,\ldots,n_d$ $n_1|n_2|\ldots$ tal que $\mathfrak{p}=n_1\mathbb{Z}e_1+\cdots+n_d\mathbb{Z}e_d$.

Usted puede encontrar un structrue teorema acerca de los módulos a través de la directora ideal de dominio (Teorema 1) en la página 21 del P. Samuel del libro "teoría algebraica de números". Mientras que en el caso general, un subgrupo de un finitely libres generados por el abelian no es necesario de rango completo. Pero su caso, de un no-cero ideal debe ser de rango $d$, por lo que todos aquí $n_i$ puede ser elegido como enteros positivos.

Answer 2

Sí. Observe que $\mathfrak p$ $\mathbb Z$- submódulo de $\mathcal O_K$. Sabemos que $\mathcal O_K$ es un servicio gratuito de $\mathbb Z$-módulo de rango $d$. Desde $\mathbb Z$ que es lo principal, podemos utilizar el siguiente resultado (de Samuel de la teoría Algebraica de números, página 21):

Teorema Deje $A$ ser un director ideal anillo, $M$ libre $A$-módulo de rango $n$, e $M'$ un submódulo de $M$. Entonces:

1. $M'$ es libre de rango $q$, $0\leq q \leq n$.
2. Si $M'\neq 0$, existe una base $(e_1,\dots,e_n)$ $M$ y distinto de cero elementos $a_1,\dots,a_q\in A$ tal que $(a_1e_1,\dots,a_qe_q)$ es una base de $M'$ que $a_i$ divide $a_{i+1}$, $1\leq i \leq q-1$.

En particular, $\mathfrak p$ rango $d$, por lo que existe una base $(e_1,\dots,e_d)$ $\mathcal O_K$ $a_1,\dots,a_d \in \mathbb Z$ tal que $(a_1e_1,\dots,a_de_d)$ es una base $\mathfrak p$.