Definir la continuidad para $f(x)=\arctan(2x^3)/x^2$ en $x=0$ .

Question

$$f(x)=\dfrac{\arctan(2x^3)}{x^2}.$$

1. ¿Cómo podemos definir $f(x)$ en $x=0$ para que sea continuo allí?

2. Encuentre la derivada para todos los $x$ números reales.

No veo que esto funcione ya que $x=0$ no está definido en el denominador.

Gracias de antemano si alguien puede explicar :)

Answer 1

Calcular el límite $$\lim_{x\to0} f(x)=\lim_{x\to0}\frac{\arctan ( 2x^3 )}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{2x^3}{x^2}=0.$$ Por lo tanto, definimos $f(0)=0$ y $f(x)$ es continua.
Ahora calcula la derivada. Para $x\ne 0$ tenemos \begin{align} & f'(x)=\frac{{( \arctan ( 2x^3 ))^{\prime }}\cdot x^2-\arctan( 2x^3)\cdot{ (x^2)^{\prime }}}{(x^2)^2}=\frac{\frac{6x^4}{1+4x^6}-2x\arctan(2x^3)}{x^4} \\ & =\frac{6}{1+4x^2}-\frac{2\arctan ( 2x^3 )}{x^3}. \tag1 \end{align} Y $$f'(0)= \lim_{x\to0} \frac{\frac{\arctan( 2x^3)}{x^2}-0}{x-0} =\lim_{x\to0} \frac{\arctan ( 2x^3t)}{x^3} =\lim_{x\to0} \frac{2x^3}{x^3}=2.$$ O simplemente podemos dejar que $x$ tiende a cero en $(1)$ .

Answer 2

Toma $$\lim_{x\to 0} \frac{\arctan (2x^3)}{x^2}$$

para saber qué pasa cuando $x$ enfoques de cero ambos lados.

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En cuanto a la derivada

$$\begin{align}f(x) &= x^{-2}\arctan(2x^3) \Rightarrow \\f'(x) &= -2x^{-3}\arctan(2x^3) + x^{-2}\frac{6x^2}{1+4x^6} \\&= \frac{6}{1+4x^6}-\frac{2\ \arctan(2x^3)}{x^3} \end{align}$$

¿Qué sucede cuando $x \to 0$ ?

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Answer 3

La función definida inicialmente es de hecho indefinida cuando $x=0$ porque el numerador y el denominador son ambos $0$ . La cuestión es cómo definirlo en $0$ para que sea continua en $0$ . Esto significa que lo que se pide es una función de la forma $$ g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{if }x\ne0,\\ c & \text{if }x=0, \end{cases} $$ y tal que $g$ es continua en $0$ . Eso significa que el número $c$ debe ser $\lim\limits_{x\to0}f(x)$ .

Un límite $\lim\limits_{x\to\bullet}\dfrac{{}\ \bullet\ {}}\bullet$ donde tanto el numerador como el denominador se aproximan $0$ puede ser $0$ o cualquier otro número o $+\infty$ o $-\infty$ dependiendo de las funciones que se encuentren en el numerador y en el denominador.