¿Hay alguna identidad que vincule$\pi$ y$\phi$ (la proporción áurea)?

Question

¿Hay alguna identidad que muestre una conexión entre$\pi$ y la proporción áurea,$\phi$?

Answer 1

¿Qué pasa con:$$\phi = \frac{1}{2}\csc(\pi/10)$ $

Answer 2

PS

Answer 3

Una de esas relaciones es

$\phi \cos(2\pi/5)=1/2$.

Esta es una relación geométrica: desde el pentágono canónico, y en particular desde el triángulo con ángulos de$72, 72$ y$36$ grados.

Answer 4

He aquí una curiosa identidad entre las $\pi$ $\phi$ a través de la Watson triple integral de la $I_1$ y el de Gauss constante $G$,

$\begin{aligned} I_1 &= \frac{1}{\pi^3}\int_0^\pi \int_0^\pi \int_0^\pi \frac{dx\, dy\, dz}{1-\cos x\cos y\cos z}\\ 2G^2 &=2\left( \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2} \frac{dx}{\sqrt{1+\sin^2 x}}\right)^2\\ &= \frac{25\phi^6}{\sqrt{\phi^{24}-4}}\sum_{n=0}^\infty \frac{(6n)!}{(3n)!\,n!^3} \left(\frac{-\phi^{16}}{4(\phi^{24}-4)}\right)^{3n}\\ &= \frac{\Gamma^4(\frac{1}{4})}{4\pi^3} = 1.393203\dots \end{aligned}\etiqueta{1}$

El segundo pertenece a una clase de fórmulas para $1/\pi$ encontrado por Ramanujan.

$$\frac{1}{\pi} = \frac{10\,(5^{1/4})}{\phi^6} \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!^3}{n!^6} \frac{6n+\phi^{-2}}{(2^6\phi^{24})^n}\tag{2}$$

$$\frac{1}{\pi} = \frac{1}{2\,K(k_{25})} \sqrt{\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!^3}{n!^6} \frac{1}{(2^6\phi^{24})^n}}\tag{3}$$

Ellos se basan en el hecho de que $\left(\frac{\eta(\tau)}{\eta(2\tau)}\right)^{24} = -2^6 \phi^{24}$ donde $\tau=\frac{1+\sqrt{-25}}{2}$ $\eta(\tau)$ es el Dedekind eta función, lo que implica,

$$e^{\pi\sqrt{25}} \approx 2^6 \phi^{24}-24.00004\dots$$

La tercera consiste en la integral elíptica completa de primera especie $K(k_{25})$ y puede ser calculado usando este WolframAlpha comando. Similares son,

$$\frac{1}{\pi} = \frac{1}{2\,K(k_{15})} \sqrt{\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!^3}{n!^6} \frac{1}{(2^{12}\phi^{8})^n}}\tag{4}$$

$$\frac{1}{\pi} = \frac{1}{2\,K(k_{5})} \sqrt{\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!^3}{n!^6} \frac{1}{(2^6\phi^{6})^n}}\tag{5}$$

que utiliza $\tau=\frac{1+\sqrt{-15}}{2},\;\frac{1+\sqrt{-5}}{2}$, respectivamente. El último lleva a que,

$$\frac{4\sqrt{10}\,K(k_5)}{\sqrt{\Gamma(\frac{1}{20})\,\Gamma(\frac{3}{20})\,\Gamma(\frac{7}{20})\,\Gamma(\frac{9}{20})}}=\frac{\phi^{3/4}}{\sqrt{\pi}}\tag{6}$$

Answer 5

Ver Guy y Matiyasevich, Una nueva fórmula para$\pi$ , Amer. Mates. Mensual, 93 (1986) 631–635, MR1712797 (2000i: 11199), Zbl 0614.10003; Si escribimos$f_1,f_2,\dots$ para los números de Fibonacci, entonces$$\pi=\lim_{n\to\infty}\sqrt{{6\log f_1f_2\cdots f_n\over\log{\rm lcm}(f_1,f_2,\dots,f_n)}}$ $

Entonces,$\phi$ no está explícitamente aquí, pero los Fibonaccis sí, eso debería ser lo suficientemente bueno.