Considere los números de Hodge $$h^{p,q}(X) = \dim (H^{p,q}(X)).$$ Entonces podemos preguntar si el $h^{p,q}$ son invariantes topológicas; si no lo son, entonces claramente existen múltiples complejos homeomórficos $X$ y $Y$ con $$H^{p,q}(X) \not\cong H^{p,q}(Y).$$ Esta es una vieja pregunta, formulada por primera vez en 1954 por Hirzebruch en la siguiente forma:
¿Son los $h^{p,q}$ y los números característicos de Chern de una variedad algebraica $V_n$ invariantes topológicas de $V_n$ ? Si no es así, determine todas esas combinaciones lineales de la $h^{p,q}$ y los números característicos de Chern que son invariantes topológicas.
La respuesta a la primera pregunta es no. Algunos contraejemplos específicos son los siguientes. En 1986, la banda Xiao construyó dos superficies complejas $S$ y $S'$ que son homeomórficos pero no difeomórficos y tienen diferentes números de Hodge. Esto demuestra que los números de Hodge no son invariantes topológicas. Pero incluso más allá, se puede mostrar que $S \times S$ y $S' \times S'$ son difeomórficos a través de un difeomorfismo que preserva la orientación. $S \times S$ y $S' \times S'$ seguirá teniendo diferentes números de Hodge, por lo que este ejemplo muestra que los números de Hodge ni siquiera son una invariante del tipo de difeomorfismo orientado. Ver las dos referencias siguientes para más detalles.
Xiao, Gang. Un ejemplo de superficies hiperelípticas con índice positivo . Noreste. Matemáticas. J. 2 (1986), no. 3, 255–257.
Campana, Frédéric. Una nota sobre los números de Hodge de las variedades proyectivas complejas (Inédito). Disponible en aquí .
Así que los números de Hodge no son invariantes topológicas. Pero se puede hacer la segunda parte de la pregunta de Hirzebruch: ¿qué combinaciones lineales de los números de Hodge son invariantes topológicas? Esta pregunta fue contestada en forma bastante fuerte recientemente por Kotschick y Schreieder.
Teorema. El mod $m$ reducción de un $ \Bbb Z$ -La combinación lineal de los números de Hodge de las variedades proyectivas complejas lisas es
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Una invariante de homeomorfismo orientado o una invariante de difeomorfismo orientado si y sólo si es congruente mod $m$ a una combinación lineal de la firma, los números de Betti de grado par y las mitades de los números de Betti de grado impar.
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Un homeomorfismo no orientado invariable en cualquier dimensión, o un difeomorfismo no orientado invariable en dimensiones complejas $n \neq 2$ si y sólo si es congruente con el modelo $m$ a una combinación lineal de los números de Betti de grado par y las mitades de los números de Betti de grado impar.
Su documento también clasifica qué combinaciones lineales de los números de Hodge y Chern son invariantes topológicas. Vean lo siguiente para este interesante trabajo:
Kotschick, Dieter y Schreieder, Stefan. El anillo de Hodge de los colectores de Kähler . arXiv:1202.2676v2 [matemáticas.AG].
Ahora bien, después de todo eso, usted puede preguntar si hay algunos números de Hodge que son invariables bajo alguna relación de equivalencia para alguna clase de colectores. Hay algunos resultados bien conocidos aquí.
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Los números de Hodge son invariantes homeomórficas de curvas y superficies complejas.
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Los números de Hodge $h^{p,0}$ son invariantes biracionales de variedades proyectivas suaves. No todos los números de Hodge son invariantes bi-racionales, como se puede ver al considerar la explosión de una variedad proyectiva lisa.
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Los números de Hodge son una invariante de los colectores de Kähler bajo la equivalencia de deformación. Recordemos que dos complejos colectores $X$ y $Y$ son equivalentes a la deformación si existe una inmersión holomórfica adecuada $ \pi : E \longrightarrow B$ de tal manera que $X = \pi ^{-1}(b)$ y $Y = \pi ^{-1}(b')$ para algunos $b, b' \in B$ . Más generalmente, si $ \pi : E \longrightarrow B$ es una inmersión holomórfica adecuada y $b_0 \in B$ es tal que $ \pi ^{-1}(b_0)$ es Kähler, entonces hay un vecindario $U$ de $b_0$ de tal manera que los números de Hodge de todos los $ \pi ^{-1}(b)$ son iguales para todos $b \in U$ .
