Introducción de pares ordenados de forma axiomática.

Question

Supongamos que en la $ZFC$ hemos introducido pares ordenados no en la forma habitual como $(a,b) = \{\{a\}, \{a,b\}\}$ pero axiomáticamente, por la ampliación de $ZFC$ mediante la adición de a $ZFC$ un nuevo binario funcional símbolo $g$ y en un axioma:
$\forall a,b,c,d( g(a,b) = g(c,d) \rightarrow a=c \wedge b=d)$.

La principal ventaja de este enfoque es la ausencia de los llamados "chatarra" teoremas - ver http://mathoverflow.net/questions/90820/set-theories-without-junk-theorems.

Vamos a escribir en lugar de $g(x,y)$ $(x,y)$

Pregunta 1. Será la fórmula $\forall S,u((S,u) \notin S)$ un teorema de la teoría ampliada?

Pregunta 2. Hay libros de texto, donde los pares ordenados se introdujeron en una similar manera axiomática?

Answer 1

La respuesta a la pregunta 1 es no. Aquí hay una forma de ver esto: tome cualquier modelo$M\vDash ZFC$ y deje que$f$ sea una función uno-uno desde$M\times M$ a$M$ ($f$ existirá por el axioma de elección). Luego modificamos$f$ a una nueva función$f^*$ para que$f^*(\langle 1, 0\rangle) = 0_M$ y$f^*(f^-1(0_M)) = f(\langle 1, 0\rangle)$. Luego tenemos lo siguiente:

(1)$M$, con$f^*$ como la interpretación de$g$, modela ZFC más su axioma de emparejamiento; y:

(2)$M$, con$f^*$ como la interpretación de$g$, piensa que$g(1, 0) \in 1$.