Posible valor cuadrado medio

Question

suponga que la suma de siete números positivos es 21. ¿Cuál es el valor mínimo posible del promedio del cuadrado de estos números?

Answer 1

Supongamos$\sum_{i=1}^7 x_i = 21$. De la desigualdad de Jensen con$\varphi(x) = x^2$ y todos los pesos iguales a$1$, obtenemos:

PS

Al conectar lo que sabemos, en el lado izquierdo tenemos simplemente$$\varphi \left(\frac {\sum_{i=1}^7 x_i} 7 \right) \leq \frac {\sum_{i=1}^7 \varphi(x_i)} 7$, y en el lado derecho tenemos el promedio de los cuadrados. Así que la respuesta es al menos 9.

Ejercicio fácil: demuestre que es exactamente 9; es decir, encuentra 7 números que sumen 21 y tengan 9 como su cuadrado promedio.

Answer 2

$$\sum_{i=1}^n x_i = 21 \tag{1}$$

Minimizar el promedio de los siete sqares es la misma como la minimización de la suma de los cuadrados. Ambos valores difieren por la constante facor 7. Por lo tanto, proceder por minizing la suma de los suqares, La última expresión es más simple así que prozeed mediante la minimización de la

$$\sum_{i=1}^7x_i^2 \tag{2}$$.

Podemos escribir

$$ \begin{eqnarray} \tag{3} \\ x_1=3+d_1 \\ x_2=3+d_2 \\ \cdots \\ x_7=3+d_7 \\ \end{eqnarray} $$

Sustituyendo $(3)$ $(1)$ da

$$\sum_{i=1}^n d_i = 0 \tag{4}$$

Así tenemos

$$ \begin{eqnarray} \sum_{i=1}^7 x_i^2 = \\ \sum_{i=1}^7 (3+d_i)^2 = \\ \sum_{i=1}^7 (9 + 6 d_i +d_i^2) = \\ 63 + 6 \sum_{i=1}^7d_i + \sum_{i=1}^7 d_i^2 = \\ 63 + \sum_{i=1}^7 d_i^2 \tag{5} \end{eqnarray} $$ La suma de $d_i$ se desvanece debido a $(4)$ $(5)$ es $\gt 63$ si algunos de $d_i \gt 0$. Es igual a 63 y therfore mínimo si todos los $d_i=0$.

Esto es equivalente a todos los $x_i=3$.

Answer 3

Supongamos que tenemos una 7-tupla en la que algunos números no son iguales. Llamar a dos números que son diferentes de las $x$$y$, $\frac {x^2+y^2} 2$ es de más de $(\frac {x+y} 2 )^2$, que es el promedio de los si $x$ $y$ fueron reemplazados por su promedio, $(\frac {x+y} 2)$.Para mostrar esto, en primer lugar expandir$(\frac {x+y} 2 )^2$$\frac {x^2+y^2+2xy} 4$. Entonces, para mostrar que $\frac {x^2+y^2} 2>\frac {x^2+y^2+2xy} 4$ multiplicar por $4$, consigue $2x^2+2y^2>x^2+y^2+2xy$. Restar $x^2+y^2+2xy$ desde ambos lados y obtenga $x^2+y^2-2xy>0$, lo cual es evidentemente cierto si $x \ne y$ porque es igual a $(x-y)^2$. Esto demuestra que cualquier "reducción" será siempre inferior a la media de los cuadrados.

Ahora, suponga que hay una 7-tupla con un menor promedio de $(3,..,3)$. Usted puede reducir fácilmente con mi método de una 7-tupla con cuatro números son iguales, y los otros tres iguales también.(es decir,$x,x,x,x,y,y,y$.) Sólo hay que aplicar el método de reducción a los dos primeros números, el 3º y 4º,1º y 3º,2º y 4º,5º y 6º,4º y 7º,4º y 5º,y 6º y 7º, en ese orden.(Intente con un grupo real de los distintos números si no sigues:)

Ahora este 7-tupla del promedio de los cuadrados es menor que el original 7-tupla, y así que el promedio debe ser inferior a 9. Sin embargo, esto no puede ser por la siguiente razón. La suma de los cuadrados en términos de$x$: $4x^2+3((\frac {21-4x} 3)^2)$. Esto expande a $\frac 7 3 (4x^2-24 x+63)$. Para que esto sea menos de 63, $7(4x^2-24 x+63)$=$28x^2-168x+441$ debe ser inferior a 189, por lo $28x^2-168x+252=28(x-3)^2$ debe ser menor que cero. Esto claramente no puede ser para cualquier x real.

Por lo tanto, cualquier solución que todos los números no son lo mismo, no se tiene un promedio al cuadrado de a menos de que de $(3,..,3)$, es decir, 9.

QED

Answer 4

necesitamos 7 números cuyo promedio de cuadrados sea mínimo, es decir, necesitamos sumar los números más pequeños. Simplemente podemos observar
21 = 3 +3 +3 +3 +3 +3 +3

así promedio de cuadrados de estos 7 números = (9 +9 +9 +9 +9 +9 +9) / 7 = 9

Answer 5

Considere la fórmula$V(X)=E[X^2]-(E[X])^2$ para la varianza , que es necesariamente no negativa.