rama del logaritmo de$z^2$

Question

Aquí está uno de los ejercicios recomendados de nuestra clase de análisis complejo.

Demuestre o refute: No hay un% analítico $f$en$\mathbb{C} \setminus 0$ tal que$exp(f(z)) = z^2$ para todos los que no sean cero $z \in \mathbb{C}$.

Al diferenciar ambos lados de la ecuación, obtengo$f'(z) = \frac{2}{z}$. Integración a lo largo del disco de la unidad,$\int_{\partial B(0,1)} f'(z) = 0$.

¿Tengo razón en que mi corazonada es que no hay tal$f$? Para mostrar esto, creo que debo mostrar que esta integral no es cero. ¿Cómo hago esto?

Answer 1

Al igual que no hay$\log$ en este dominio.

Como dijiste $f'(z)=2/z$.

Por lo tanto, integrando a lo largo del círculo unitario, $$ \ int_ \ mathbb {T} f '(z) dz = 2 \ int_ \ mathbb {T} \ frac {dz} {z}. $$

Ahora lhs produce $$ \ int_0 ^ {2 \ pi} f '(e ^ {i \ theta}), es decir, {{i \ theta} d \ theta = f (e ^ {2 \ pi i}) - f ( e ^ {\ cdot 0i}) = f (1) -f (1) = 0 $$ mientras que rs es $$ 2 \ int_0 ^ {2 \ pi} \ frac {ire ^ {i \ theta}} {re ^ {i \ theta}} d \ theta = 4i \ pi. $$ contradicción.