Anillo de todas las funciones continuas de los reales en los reales no es un dominio íntegro

Question

Sea $R$ el anillo de todas las funciones continuas de los números reales en los números reales. Demuestra que $R$ no es un dominio integral.

Necesito ayuda con esto. No entiendo esto en absoluto y mi libro realmente no da tanta información.

Answer 1

Un anillo es un dominio integral si "no tiene divisores de cero". es decir, si $a, b \in R$ y $ab = 0$ entonces $a = 0$ o $b = 0$.

Para demostrar que tu anillo no es un dominio integral, necesitas encontrar dos funciones continuas $f, g$ digamos que no son idénticamente cero, pero tales que $f(x)g(x) = 0 \space \forall x \in \mathbb{R}$.

(Esto se debe a que el "cero" en este anillo es la función continua $h(x)$ tal que $h(x) = 0$ para todo $x \in \mathbb{R}")

Answer 2

Para demostrar que $R$ no es un dominio integral, todo lo que necesitas hacer es encontrar un ejemplo de divisores de cero en $R$. Un ejemplo simple es el siguiente: $f,g\in R$ definido como $$f(x)=\begin{cases} 0 & x\in(-\infty,0)\\ x & x\in[0,\infty) \end{cases}$$ y $$g(x)=\begin{cases} -x & x\in(-\infty,0)\\ 0 & x\in[0,\infty). \end{cases}$$

Answer 3

Por ejemplo

$$f(x)=\begin{cases}0&,\;\;x\le 0\\{}\\x&,\;\;x\ge 0\end{cases}\;\;\;,\;\;g(x)=\begin{cases}x&,\;\;x\le 0\\{}\\0&,\;\;x\ge 0\end{cases}$$