¿Es el producto tensorial de las álgebras no conmutativas un colímite?

Question

Para $R$ un anillo conmutativo, el producto tensorial de $R$ -es el coproducto en la categoría de las álgebras conmutativas $R$ -algebras. En el caso no conmutativo ya no es el coproducto en la categoría de asociativas $R$ -pero satisface una propiedad universal, dada en Wikipedia . ¿Se trata de una especie de colímite? Si no es así, ¿hay una descripción directa de esta propiedad universal a través de un functor (derecho?) adjunto al producto tensorial, como es el caso de los productos tensoriales de los módulos?

Answer 1

Los productos tensoriales de anillos no conmutativos no se distribuyen sobre coproductos finitos. Por ejemplo, $$\mathbb{Z}[x]\otimes\left(\mathbb{Z}[y]\coprod \mathbb{Z}[z]\right)=\mathbb{Z}[x]\otimes \mathbb{Z}\langle y,z\rangle$$ puede describirse como el anillo generado por los elementos $x$ , $y$ y $z$ mod las relaciones que $x$ se desplaza con $y$ y $z$ . Por otro lado, $$(\mathbb{Z}[x]\otimes \mathbb{Z}[y])\coprod(\mathbb{Z}[x]\otimes\mathbb{Z}[z])=\mathbb{Z}[x,y]\coprod\mathbb{Z}[x',z]$$ es el anillo generado por $x$ , $y$ , $x'$ y $z$ mod las relaciones que $x$ se desplaza con $y$ y $x'$ se desplaza con $z$ . El mapa canónico del segundo anillo al primero identifica $x$ y $x'$ juntos como $x$ y no es un isomorfismo.

Se deduce que el functor $\mathbb{Z}[x]\otimes -$ en anillos no conmutativos no puede tener un adjunto derecho, y yo esperaría que de manera similar $A\otimes -$ no puede tener un adjunto derecho para casi todos los anillos $A$ . (Obsérvese que esto también es cierto para los anillos conmutativos mediante un ejemplo similar; el adjunto derecho de $A\otimes -$ sólo funciona para los módulos).

El functor de dos variables $-\otimes-:\mathrm{Ring}\times\mathrm{Ring}\to\mathrm{Ring}$ tampoco preserva los coproductos y, por tanto, no tiene un adjunto correcto (esta vez, a diferencia del caso de los anillos conmutativos). En efecto, $(A\coprod C)\otimes (B\coprod D)$ difiere de $(A\otimes B)\coprod (C\otimes D)$ porque en el primer anillo $A$ y $C$ ambos se desplazan con ambos $B$ y $D$ mientras que en el segundo anillo $A$ se desplaza con $B$ y $C$ se desplaza con $D$ pero $A$ no conmuta con $D$ y $C$ no conmuta con $B$ .

En cuanto a la representación de los productos tensoriales como un colímite, no estoy seguro de lo que tienes en mente con eso. El único colímite obvio que puedes tomar cuando tienes dos objetos y ningún dato adicional es un coproducto, y ya has observado que el producto tensorial no es el coproducto. Puedes describir el producto tensorial como el coproducto modulo relaciones que dicen que los elementos de los dos factores conmutan entre sí, y puedes escribir modding out estas relaciones como un cierto coequalizador, pero no será particularmente agradable (porque para describir siquiera los objetos involucrados en el diagrama, necesitas referirte a los elementos de tus dos anillos).

Answer 2

Existe una adjunción tensor-hom para el producto tensorial de álgebras, pero existe a nivel de la categoría 2 de Morita, en lugar de la categoría 1 de álgebras.

En concreto, la categoría 2 de Morita tiene objetos $k$ -y la categoría de morfismos $A \to B$ es la categoría $\text{Mod}(A^{op} \otimes B)$ de $(A, B)$ -bimódulos, donde la composición viene dada por el producto tensorial. (Todos los productos tensoriales son sobre $k$ .) La categoría 2 de Morita tiene una hom $[A, B] = A^{op} \otimes B$ y su adjunto izquierdo es el producto tensorial en el sentido de que tenemos identificaciones naturales

$$[A \otimes B, C] \cong A^{op} \otimes B^{op} \otimes C \cong [A, B^{op} \otimes C] \cong [A, [B, C]].$$

En la categoría 2 de Morita el coproducto de dos álgebras $A$ y $B$ es $A \times B$ (en lugar del producto libre), y el producto tensorial distribuye sobre éste.