Ideales máximos del anillo polinomial.

Question

Sabemos que si$k$ está algebraicamente cerrado, entonces cada uno de los ideales máximos de$k[x_1, x_2, \ldots , x_n]$ tiene la forma$(x_1 - a_1, x_2 - a_2, \ldots, x_n - a_n),$ donde$a_1, a_2, \ldots , a_n \in k$ (Teorema de Nullstellensatz de Hilbert). En el caso de que$k$ no esté algebraicamente cerrado, es correcto decir que un ideal máximo$m$ de$k[x_1, x_2, \ldots, x_n]$ tiene el campo de residuo$k$ si y solo si$m = (x_1 - a_1, x_2 - a_2, \ldots, x_n - a_n)$ para algunos $a_1, a_2, \ldots, a_n \in k.$

Gracias.

Answer 1

Sí. Establezca$R=k[x_1...x_n]$ y suponga$R/m\cong k$. Luego tenemos un homomorfismo$R\to k$ dado al componer$R\to R/m$ con este isomorfismo, y cada$x_i$ se envía a algún elemento$a_i$ de$k$. Esto determina completamente el núcleo de$R\to k$, por ejemplo, ya que$R$ es un álgebra libre, y así se da cuenta de$m$ en la forma deseada.