Encontrar el límite de$\frac{1}{t\sqrt{1+t}} - \frac{1}{t}$ como$t$ tiende a$0$

Question

PS

Intenté combinar las dos fracciones y multiplicar por el conjugado y terminé con:

PS

Realmente no pude resolverlo en mi cabeza sobre qué hacer con el último término$$\lim_{t\rightarrow 0}\left(\frac{1}{t\sqrt{1+t}} - \frac{1}{t}\right)$, así que lo dejé así porque creo que funciona de todos modos. Todo es matemáticamente correcto hasta este punto, pero aún no da la respuesta que el libro desea. ¿Qué hice mal?

Answer 1

Tal vez estabas intentando algo como

$\dfrac{1}{t\sqrt{1+t}} - \dfrac{1}{t} = \dfrac{1-\sqrt{1+t}}{t\sqrt{1+t}} = \dfrac{1-(1+t)}{t\sqrt{1+t}(1+\sqrt{1+t})} = \dfrac{-1}{\sqrt{1+t}(1+\sqrt{1+t})} $

que tiene un límite de$\dfrac{-1}{1 \times (1+1)} = -\dfrac{1}{2}$ como$t$ tiende a$0$.

Agregado: si no está satisfecho con el primer paso, intente en su lugar$\dfrac{1}{t\sqrt{1+t}} - \dfrac{1}{t} = \dfrac{t-t\sqrt{1+t}}{t^2\sqrt{1+t}} = \dfrac{t^2-t^2(1+t)}{t^3\sqrt{1+t}(1+\sqrt{1+t})} = \dfrac{-t^3}{t^3\sqrt{1+t}(1+\sqrt{1+t})} $$= \dfrac{-1}{\sqrt{1+t}(1+\sqrt{1+t})}$ para obtener el mismo resultado

Answer 2

Asintotica

$$ \begin{align} \frac{1}{\sqrt{1+t}} &= (1+t)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2}\;t + o(t) \\ \frac{1}{t\sqrt{1+t}} &= \frac{1}{t} - \frac{1}{2} + o(1) \\ \frac{1}{t\sqrt{1+t}} - \frac{1}{t} &= - \frac{1}{2} + o(1) . \end {align} $$

Answer 3

Yo usaría una sustitución para deshacerme de la subasta.

PS

PS

PS

PS

PS

Answer 4

También puedes usar la regla de L'Hopitals:

Primera nota que

$\frac{1}{t\sqrt{1+t}} - \frac{1}{t} = \frac{1-\sqrt{1+t}}{t\sqrt{1+t}}$

La regla de L'Hopitals es que si:$f(x)=0$ y$g(x)=0$ entonces

$\lim_{t\to x} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)}{g'(x)}$

con algunas condiciones que voy a ignorar aquí ...

En nuestro caso

• $f(t) = 1 - \sqrt{1+t}$

  Y entonces $f'(t) = (-1/2)(1+t)^{-1/2}$.

• $f'(0)=-1/2$

  Y entonces $g(t) = t\sqrt{1+t}$

Así que finalmente obtenemos$g'(t) = \sqrt{1+t} + (t/2)(1+t)^{-1/2}$ como el límite que necesitamos.

Answer 5

Permitir que$f:]0,\infty[\to\mathbb{R}$ esté dado por$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}.$$ Then $$\frac{1}{t\sqrt{1+t}} - \frac{1}{t}=\frac{f(1+t)-f(1)}{t},$ $ para que$$\lim_{t\to 0} \frac{1}{t\sqrt{1+t}} - \frac{1}{t}=\lim_{t\to 0} \frac{f(1+t)-f(1)}{t}=f'(1).$ $ desde$$f'(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}$$ in $] 0, \ infty [, $ obtenemos$$\lim_{t\to 0} \frac{1}{t\sqrt{1+t}} - \frac{1}{t}=\left. -\dfrac{1}{2}\cdot t^{-\frac{3}{2}}\right|_1=-\frac{1}{2}.$ $