¿La función de distancia definida en un conjunto convexo es siempre convexa?

Question

Estoy en busca de una respuesta a la siguiente pregunta:

Es la distancia función definida en un conjunto convexo siempre convexo?

Obviamente, el conjunto convexo en cuestión es la métrica. En particular, estoy interesado en el caso de que el conjunto convexo es el conjunto de medidas de probabilidad.

En términos formales: Vamos a $\Delta(X)$ ser el espacio de probabilidad mide más de $X$ (y asumir por el bien de la simplicidad, que los $X$ es sólo un compacto convexo subconjunto de $\mathbb{R}$). La distancia es una función: $d:\Delta(X)\times \Delta(X)\rightarrow [0,1]$ que verifica las condiciones estándar, incluyendo la desigualdad de triángulo (y metrizes la topología en $\Delta(X)$).

Mi pregunta entonces es si la siguiente es verdadero para cualquier $d$$\Delta(X)$:

$$d(\alpha \mu_1+(1-\alpha)\mu_2,\mu_3)\leq \alpha d (\mu_1,\mu_3)+(1-\alpha)d(\mu_2,\mu_3)$$

Gracias por los consejos o referencias.

Answer 1

$\renewcommand{\Re}{\mathbb{R}}$En general, una métrica $d:\Omega\times\Omega\to\Re_+$ no puede ser convexo, incluso cuando $\Omega$ es convexa. La mayoría de la métrica utilizada, sin embargo, son convexas; por lo que hay que examinar cada caso por separado.

Tomemos, por ejemplo, una probabilidad de espacio $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ y el espacio de variables aleatorias definidas sobre los mismos, que es medible funciones de $X:\Omega\to\Re$ donde $\Re$ está dotado de la Borel sigma álgebra. Considerar el espacio

$$ \mathcal{L}_{0.5}(\Omega \mathcal{F}, \mathrm{P}) = \left\{X:\Omega\to\Re, \text{medibles}, \int_{\Omega} \sqrt{|X(\omega)|}\mathrm{P}(\mathrm{d}\omega)<\infty \right\}, $$

y considerar la siguiente norma-como la función en $\mathcal{L}_{0.5}(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$:

$$ \|X\|_{0.5} = \int_{\Omega} \sqrt{|X(\omega)|}\mathrm{P}(\mathrm{d}\omega). $$

Ahora toma la función de distancia $d(X,Y)$ $\mathcal{L}_{0.5}(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ inducida por esta norma, que es

$$ d(X,Y)=\|X-Y\|_{0.5}. $$

Esta métrica no es convexa. Después de haber hecho esto para variables aleatorias podemos extender esto a las medidas. Dada una variable aleatoria $X_1\in\mathcal{L}_{0.5}(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ podemos definir una medida

$$ \mu_1(A) = \int_A X_1,\mathrm{dP} $$

Construir, de forma análoga, otra medida

$$ \mu_2(A) = \int_A X_2\mathrm{dP} $$

para algunos $X_2\in\mathcal{L}_{0.5}(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ y definir su distancia $D(\mu_1, \mu_2)$

$$ D(\mu_1, \mu_2) = d(X_1, X_2). $$

Actualización 1. Hay una manera sencilla de construir un débil métrica en $\Re\times \Re$, $d(x,y)$ que es convexa en el primer argumento, pero no en el segundo. Este es

$$ d(x,y) = \begin{cases} 2(y-x),&x<y\\ 2(x-y),&0\leq y\leq x\\ 2x-y,&y<0\leq x\\ x-y,&y\leq x < 0 \end{casos} $$

Esta función satisface (i) $d(x,y)\geq 0$, (ii) $d(x,x)=0$, (iii) $d(x,y)\leq d(x,z) + d(x,y)$, (iv) $d$ es convexa en el primer argumento. Sin embargo, $d$ no satisface $d(x,y)=0\Rightarrow x=y$ y no es simétrica.

Y así es como se ve:

Update 2. (Hilbert métrica). En el Ejemplo 1 en este artículo los autores demuestran que la de Hilbert métrica no es convexa.