Interpretación analítica funcional de la (co) variación y la descomposición del doob.

Question

Tengo una pregunta acerca de la correlación entre el rendimiento de dos de tiempo discreto de los procesos estocásticos.

Deje $(\mathcal{F}_i)_{i\in T}$ ser una filtración. Llamamos a un tiempo-discreto, con un valor real, adaptado proceso de $X$ el (e.yo. $X : \mathbb{N} \to \mathbb{R}^{\Omega}$ $X_i$ $\mathcal{F}_i$medible) un discreto semi-martingala.

Un teorema de Doob estados, que cada discretos semi-martingala $X$ puede ser únicamente representado como $X = M + A + X_0$ donde $M$ es una Martingala, $A$ es un proceso predecible y $M_0 = A_0 = 0$. Esta representación se llama la Doob descomposición de $X$. El proceso de $A$ se llama el compensador de $X$.

Para dos discretos semi-martingales $X,Y$ llamamos a $[X,Y]_n := \sum_{i=1}^n \Delta X_i\Delta Y_i$ la variación de $X$$Y$. El compensador de la discreta semi-martingala $[X,Y]:=([X,Y]_n)_{n\in \mathbb{N}}$ se llama la covariación de $X$ $Y$ andis denotado por $\langle X,Y \rangle$.

Uno puede mostrar que la variación así como la covariación son simétricas y bilineal. La variación de los mapas de una tupla de discretos semi-martingales en un discreto semi-martingala. La covariación mapas de una tupla de discretos semi-martingales en un proceso predecible.

Aquí está mi primera pregunta: ¿hay alguna conexión entre el producto por un escalar (o incluso un Hilbertspace) y la variación o covariación?

Aquí está mi segunda pregunta: ¿hay algún funcional de la interpretación analítica de la Doob de la descomposición (por ejemplo, en palabras de proyecciones) ?(La respuesta, gracias Un Blumenthal!)

Answer 1

Voy a tratar de responder a su segunda pregunta.

Aquí tenemos una filtración $\mathcal{F}_n$ sobre un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$. Dejando $H = L^2(\mathcal{F},\mathbb{P})$, podemos ver el sigma-álgebra de filtración, ya que dan lugar a una filtración de subespacios $H_n = L^2(\Omega,\mathcal{F}_n, \mathbb{P})$ (todo lo que esto significa es que el $H_1 \subset H_2 \subset \cdots$ es un aumento de la secuencia de subespacios cerrados de $H$ ordenado por inclusión).

Ya que estamos trabajando con una sola medida $\mathbb{P}$, a partir de aquí voy a escribir $L^2(\mathcal{F})$ como el espacio de $L^2$ random variables medibles con respecto a $\mathcal{F}$.

Es un hecho que la esperanza condicional de $L^2$ funciones/variables aleatorias puede ser pensado como una proyección ortogonal sobre un subespacio. A saber, si $X \in L^2(\mathcal{F})$ $\mathcal{G} \subset \mathcal{F}$ es un sub-sigma-álgebra, entonces la asignación de $X \mapsto \mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}]$ es la proyección ortogonal de a $L^2(\mathcal{F}) \rightarrow L^2(\mathcal{G})$.

Podemos pintura geométrica de la imagen de martingales mediante el uso de este hecho. Deje $\{X_n\}$$\mathcal{F}_n$, cuadrado integrable martingala. A continuación, la martingala de la propiedad afirma que cada martingala diferencia $X_{n+1}-X_n$ es la componente ortogonal a$L^2(\mathcal{F}_n)$$X_{n+1}$; por lo tanto, tal martingala se "construye" a la actual tiempo $n$$X_1$, en cada paso de tiempo, la adición de una ortogonal a la anterior timesteps. Esto debería recordarle $\mathbb{R}^n$, donde usted puede pensar de un vector $(x_1,\cdots,x_n)$ como se "construye" por $(x_1,0,\cdots,0)$, $(0,x_2,0,\cdots,0)$ y así sucesivamente.

Ahora vamos a $X_n$ 'semimartingale' (nunca he oído hablar de la terminología; yo llamo a esto un adecuado proceso). El significado de la predicción compensador $A_n$ en este contexto es el componente de la diferencia de $X_{n} - X_{n-1}$ acostado en $L^2(\mathcal{F}_{n-1})$ (y así es el 'nonorthogonal obstrucción" a la martingala de la propiedad). No debe ser ninguna sorpresa, entonces, que es útil para tomar $A_n$ a ser predecible - que va a ser siempre la parte de la diferencia que 'derrama' en la anterior subespacio.